¿Por qué el tensor electromagnético en forma de componente coincide con la definición geométrica diferencial de una forma 222?

Question

¿Por qué el tensor electromagnético en forma de componente coincide con la definición geométrica diferencial de una forma 222?

tensores
Matemáticas
campos vectoriales
electromagnetismo
formas-diferenciales
geometría diferencial

Ali

De las clases de física, entiendo que el tensor de intensidad de campo electromagnético se define como

F^{m v} = \partial^{m} A^{v} - \partial^{v} A^{m},

$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu \;,$ dónde

\partial^{μ}

$\partial^\mu$ es la derivada parcial (que entiendo que es un vector) y

A^{μ}

$A^\mu$ es el potencial del vector electromagnético (que entiendo que es un campo vectorial , el campo de fotones tras la cuantificación).

De la geometría diferencial, entiendo un $2$ -forma ser un antisimétrico $(0,2)$ -campo tensor, a saber, un mapa multilineal antisimétrico

ω : Γ (T METRO) \times Γ (T METRO) ⟶ C^{\infty} (METRO)

$\omega:\Gamma(TM)\times\Gamma(TM)\longrightarrow C^{\infty}(M)$

dónde $\Gamma(TM)$ es el conjunto de campos vectoriales en $M$ .

Aquí está mi problema: he visto en muchos lugares que "El tensor de fuerza de campo electromagnético es un $2$ -forma ". Sin embargo, estoy luchando para ver cómo la definición del tensor de intensidad de campo que conozco, y la definición de un $2$ -forma que conozco, encajan.

A $2$ -form toma como argumentos dos campos vectoriales , no dos vectores. $A^\mu$ es un campo vectorial, pero por lo que yo entiendo, $\partial^\nu$ es un vector (un objeto que toma una función y la diferencia), no un campo vectorial . Como tal, parece incorrecto escribir el tensor de intensidad de campo como algo así
$\begin{aligned} F : Γ (T METRO) \times Γ (T METRO) & ⟶ C^{\infty} (METRO) \\ (\partial^{m}, A^{m}) & \mapsto F (\partial^{m}, A^{m}) . \end{aligned}$ $\begin{align} F:\Gamma(TM)\times\Gamma(TM)&\longrightarrow C^{\infty}(M)\\ (\partial^\mu,A^\mu)&\mapsto F(\partial^\mu,A^\mu). \end{align}$ Obviamente, lo anterior es descuidado, pero supongo que lo que digo es que no me queda claro que la definición anterior de la intensidad de campo en forma de componente coincida de alguna manera con la definición de un $2$ -forma.
Me siento incómodo con mi comprensión de estos objetos en términos de geometría diferencial: si una derivada es un vector en geometría diferencial, y un vector tangente toma como argumento una función $f\in C^\infty(M)$ , cómo/por qué las derivadas en la definición anterior del tensor de intensidad de campo actúan sobre el campo vectorial $A^\mu$ ?

Sal

Puede ser útil escribir la forma potencial de forma explícita:

A = - V d t + A_{1} d x^{1} + A_{2} d x^{2} + A_{3} d x^{3}

$A=-Vdt+A_1dx^1+A_2dx^2+A_3dx^3$ , de donde podemos leer los componentes del tensor covariante. Luego calcula

d A = F

$dA=F$ directamente

Ted Shifrin

Si estás pensando en la derivada

\partial^{ν}

$\partial^\nu$ como un "vector", entonces por supuesto es el campo vectorial

\partial / \partial x^{ν}

$\partial/\partial x^\nu$ en el gráfico de coordenadas. La convención de suma está mal porque sus índices en realidad deberían ser índices más bajos.

Ali

@TedShifrin Ah, hay una fuente de confusión para mí. Estás diciendo

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ Qué es un campo vectorial , no un vector? Supongo que evaluando la derivada en un punto específico

p \in M

$p\in M$ marcas

(\partial_{μ})_{p}

$(\partial_\mu)_p$ un vector ? También como un aparte, he visto

\frac{\partial f}{\partial x^{μ}} = \partial_{μ} (f \circ x^{- 1})

$\frac{\partial f}{\partial x^\mu}=\partial_\mu(f\circ x^{-1})$ , es decir

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ y

\frac{\partial}{\partial x^{μ}}

$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ no siempre son equivalentes (?) - ¿Eso se aplica aquí?

Respuestas (1)

¿Por qué el tensor electromagnético en forma de componente coincide con la definición geométrica diferencial de una forma 222?

Puede ser útil escribir la forma potencial de forma explícita: $A=-Vdt+A_1dx^1+A_2dx^2+A_3dx^3$ , de donde podemos leer los componentes del tensor covariante. Luego calcula $dA=F$ directamente
Si estás pensando en la derivada $\partial^\nu$ como un "vector", entonces por supuesto es el campo vectorial $\partial/\partial x^\nu$ en el gráfico de coordenadas. La convención de suma está mal porque sus índices en realidad deberían ser índices más bajos.
@TedShifrin Ah, hay una fuente de confusión para mí. Estás diciendo $\partial_\mu$ Qué es un campo vectorial , no un vector? Supongo que evaluando la derivada en un punto específico $p\in M$ marcas $(\partial_\mu)_p$ un vector ? También como un aparte, he visto $\frac{\partial f}{\partial x^\mu}=\partial_\mu(f\circ x^{-1})$ , es decir $\partial_\mu$ y $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ no siempre son equivalentes (?) - ¿Eso se aplica aquí?

Nikolái Ebel · Answer 1

la primera pregunta

Lo que pasa es que es un poco chapucero decir eso $F^{\mu \nu}$ es un tensor. Es una función de coordenadas de un tensor. El tensor, o, en este caso, una forma 2, es

F = \frac{1}{2} F_{m v} d X^{m} \land d X^{v} .

$F =\frac{1}{2} F_{\mu \nu} dx^\mu \wedge dx^\nu.$

(Se utiliza la convención de suma de Einstein).

Aquí $dx^\mu \wedge dx^\nu = \frac{1}{2} (dx^\mu \otimes dx^\nu - dx^\nu \otimes dx^\mu)$ es producto antisimétrico o producto exterior . La propiedad principal de esto es que es antisimétrico, por lo que puede ignorar la expresión explícita a través de productos tensoriales.

F actúa sobre un par de campos vectoriales $(v,w)$ como

F (v, w) = F_{m v} (d X^{m} v) (d X^{v} w) = F_{m v} v^{m} w^{v} .

$F(v,w)=F_{\mu \nu} (dx^\mu v) (dx^\nu w) = F_{\mu \nu} v^\mu w^\nu.$

Por lo tanto, la respuesta para la primera pregunta en algún sistema de coordenadas es

(v, w) \mapsto F_{m v} v^{m} w^{v} .

$(v,w) \mapsto F_{\mu \nu} v^\mu w^\nu.$

la segunda pregunta

Espero aclarar este lugar, pero no estoy seguro de si será satisfactorio. De hecho, las derivadas son vectores tangentes, pero $A^\mu$ no es un campo vectorial, al igual que $F^{\mu\nu}$ no es un tensor, es nuevamente una función de coordenadas de un campo vectorial. Y en este sentido, no es un problema que algún vector actúe sobre una función, aunque tenga etiqueta $\mu$ .

Sin embargo, para entender mejor este lugar debes pensar en $A$ como sobre 1 forma en lugar de campo vectorial $A_\mu dx^\mu$ . Para formas (de cualquier orden) puede definir derivada exterior $d$ . Mapea $p$ -formas de $(p+1)$ -formas. Escribiré aquí cómo actúa en algún sistema de coordenadas. Supongamos que tienes un $p$ -forma $w=w_{\mu_1 \ldots \mu_p} dx^{\mu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\mu_p}$ , entonces:

d w = \partial_{m_{0}} w_{m_{1} \dots m_{pag}} d X^{m_{0}} \land d X^{m_{1}} \land \dots d X^{m_{pag}}

$dw = \partial_{\mu_0} w_{\mu_1 \ldots \mu_p} dx^{\mu_0} \wedge dx^{\mu_1} \wedge \ldots dx^{\mu_p}$

Teniendo esto, puedes ver fácilmente que si $A$ es un $1$ -forma $A=A_\mu dx^\mu$ , entonces

d A = \partial_{v} A_{m} d X^{v} \land d X^{m} = \frac{1}{2} (\partial_{v} A_{m} - \partial_{m} A_{v}) d X^{v} \land d X^{m} = F .

$d A = \partial_\nu A_\mu dx^\nu \wedge dx^\mu =\frac{1}{2} (\partial_\nu A_\mu - \partial_\mu A_\nu) dx^\nu \wedge dx^\mu=F.$

Si te interesan los detalles, te recomiendo que leas "Gauge Fields, Knots And Gravity" de John Baez y Javier P. Muniain. Tiene una buena introducción elemental sobre variedades, campos vectoriales, formas y todo eso. Aunque no es del todo riguroso, es más que suficiente para entender el idioma.

¿Por qué el tensor electromagnético en forma de componente coincide con la definición geométrica diferencial de una forma 222?

Ali

Sal

Ted Shifrin

Ali

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Nikolái Ebel

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