Una pregunta interesante sobre las ternas pitagóricas

Recientemente he pensado en una pregunta interesante sobre las ternas pitagóricas.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Considere tal trapecio en ángulo recto formado por 3 triángulos en ángulo recto. Determina si existen soluciones integrales para las longitudes de los lados. A B , B C , C D , D mi , mi A , A C y C mi .

Aquí están mis ideas.ingrese la descripción de la imagen aquí

Sé que la terna pitagórica se puede generar sustituyendo un número entero en X 2 − y 2 , 2 X y , X 2 + y 2 . Entonces deja A B = metro 2 − norte 2 , B C = 2 metro norte , C D = 2 pag q , D mi = pag 2 − q 2 , A C = metro 2 + norte 2 = tu 2 − v 2 , C mi = pag 2 + q 2 = 2 tu v y A mi = tu 2 + v 2 . Para responder a la pregunta, tengo que demostrar que si metro 2 + norte 2 = tu 2 − v 2 y pag 2 + q 2 = 2 tu v tienen solución integral (*). Pero no sé cómo mostrar esto.

¿Alguien puede decirme si tengo razón sobre (*)? Si tengo razón, ¿cómo demostrarlo? Si me equivoco, ¿cómo resolver la pregunta?

Gracias.

Lo siento, soy un pobre etiquetador de preguntas.

¿Y si no hay triángulos semejantes?

Respuestas (2)

Tenga en cuenta que los triángulos ABC y CDE deben ser similares para que BCD sea una línea recta, por lo que ambos deben construirse a partir de múltiplos enteros de la misma terna pitagórica primitiva T= {a,b,c} con hipotenusa c.

Supongamos que ABC es pag T y CDE es q T entonces A C = pag C y C mi = q C y A mi 2 = pag 2 C 2 + q 2 C 2 de modo que A mi es divisible por C e iguala r C .

Puedes construir tu trapecio a partir de cualquier par de triples pitagóricos (no necesariamente primitivos)

T={ a , b , C } y U= { pag , q , r }

con ABC = { pag a , pag b , pag C }, CDE = { q b , q a , q C }, AS = { pag C , q C , r C }.

Y esta es esencialmente la única manera de hacerlo.

Tienes muchas soluciones, solo toma cualquier triple (por ejemplo, 3,4,5).

Luego multiplique por la cantidad correcta basada en otro triple (por ejemplo, 3,4,5).

BC=9, AB=12, AC=15 DE=12, CD=16, CD=20

Entonces AE = 25

Entonces, para cualquier terna pitagórica (a,b,c) (d,e,f) (g,h,i), una solución es (agf,bgf,cgf) (dhc,ehc,fhc) y luego (icf) para el último largo.

Por supuesto, puedes dividir la solución obtenida por el mcd de todas las longitudes...

Una pregunta interesante sobre las ternas pitagóricas
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v