¿Cómo saber cualquier dígito de cualquier número irracional?

Dejar$\alpha$ser un número irracional. Siempre que exista un algoritmo, el puede decidir si$\alpha>q$o$\alpha<q$para cualquier racional dado$q$, puede obtener aproximaciones racionales arbitrariamente buenas para$\alpha$. Especialmente, puede encontrar límites superiores e inferiores lo suficientemente buenos para determinar de forma única cualquier número deseado de decimales.

Para$\alpha=\sqrt 2$, el algoritmo de decisión es bastante simple: si$q=\frac nm$con$n\in\mathbb Z, m\in\mathbb N$, entonces$\alpha<q\iff n>0\land n^2>2m^2$.

Puede usar aproximaciones de fracciones continuas para encontrar números racionales arbitrariamente cercanos a cualquier número irracional.

Para$\sqrt 2$esto es equivalente a la cadena de aproximaciones$\frac 11, \frac 32, \frac 75, \frac {12}{17} \dots$donde la fraccion$\cfrac {a_{n+1}}{b_{n+1}}=\cfrac {a_n+2b_n}{a_n+b_n}.$

La precisión de la estimación en el$n^{th}$fracción es aproximadamente$\left|\cfrac 1{b_n b_{n-1}} \right|$- por lo que va lo suficientemente lejos como para obtener la precisión que necesita para identificar el dígito decimal que desea de la aproximación racional.

En general, no.

Supongamos que para todo número irracional$r$había un algoritmo que toma un natural$n$como entrada y devuelve el$n$-ésimo dígito de$r$. Los algoritmos posibles son contables, no todos los irracionales, por lo que no es posible tener tales algoritmos para cada irracional.

Sin embargo, tales algoritmos existen para el llamado número computable.

En algunos casos, sí. Ver algoritmos de espita y algoritmos de extracción de dígitos. Sin embargo, en la mayoría de los casos, no. La mayoría de los números irracionales no tienen tal algoritmo.