Generador triple pitagórico primitivo

Es fácil ver que si$(z,u,w)$es una terna pitagórica primitiva, entonces$w$es raro y tampoco$z$es raro y$u$es par o$z$es par y$u$es impar. WLOG suponga que$u=2x$es par, entonces$z$es impar. Entonces

es claro que$\gcd(w+z,w-z)=2$, entonces$y_1:=(w+z)/2$y$y_2:=(w-z)/2$son enteros positivos relativamente primos. De este modo

y por lo tanto$y_1$y$y_2$son divisores relativamente primos de$x^2$. Esto implica que$y_1$y$y_2$son cuadrados perfectos, así que escribe$y_1=a^2$y$y_2=b^2$. Por eso,

Esto prueba que todo triple primitivo tiene la forma$(a^2-b^2,2ab,a^2+b^2)$, como quería.

Por supuesto, la condición$\gcd(a,b)=1$es necesario, de lo contrario$(a^2-b^2,2ab,a^2+b^2)$no será primitivo.

Incluso en el artículo de wikipedia citado por @JeanMarie, no pude encontrar el siguiente argumento rápido que da todos los triples de Pitágoras de un solo golpe: la ecuación de Pitágoras es homogénea, es equivalente a la ecuación en variables racionales$Z^2 + U^2 = 1$, o equivalente$N(Z + iU) = 1$, dónde$N$denota el mapa de normas de$\mathbf Q(i)$a$\mathbf Q$,$i^2 = - 1$. La extensión$\mathbf Q(i)/\mathbf Q$siendo cíclico, con el grupo de Galois generado por la conjugación compleja, se aplica el teorema 90 de Hilbert, que muestra que$N(Z + iU) = 1$si y si$Z + iU$es de la forma$A + iB /A - iB$. De la identificación se sigue que$Z = A^2 - B^2 /A^2 + B^2$y$U = 2AB / A^2 + B^2$. Limpiar denominadores produce inmediatamente las ternas integrales pitagóricas habituales$z = a^2 - b^2 , u = 2ab, w= a^2 + b^2$. La eliminación de factores comunes da claramente los triples primitivos.

Pensé que tenía una prueba de que, si$m,n$son mutuamente primos,$m,n$generaría solo triples pitagóricos primitivos. El$proof$está entre el asterisco de abajo.

$\text{We are given }\quad A=m^2n^2\quad B=2mn\quad C=m^2+n^2$

Dejar$x$ser el mcd de$m,n$y deja$p$y$q$ser los cofactores de$m$y$n$respectivamente. Entonces nosotros tenemos

Si$GCD(m,n)=1$, entonces$GCD(A,B,C)=1$y$(A,B,C)$es un triple primitivo. Esto significa que$m$y$n$debe ser coprimo para generar un primitivo.

Sin embargo, un contraejemplo destruye la llamada prueba:$\quad\text{Let }m,n=7,3$.