Aplicaciones geométricas de números complejos

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Aplicaciones geométricas de números complejos

cálculo
geometría
Matemáticas
números complejos
análisis complejo
álgebra-precálculo

Mundo mejor

los numeros complejos $z_1,z_2,z_3$ satisfactorio
$\frac{z_{1} + z_{3}}{z_{2} - z_{3}} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{z_1+z_3}{z_2-z_3}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}$ son los vértices de un triángulo que es:

a) de área $0$

b) equilátero

c) rectángulo e isósceles

d) ángulo obtuso

Todo lo que obtuve fue que del teorema de rotación,

argumento (\frac{z_{1} + z_{3}}{z_{2} - z_{3}}) = - π / 3

$\arg\left(\dfrac{z_1+z_3}{z_2-z_3}\right)=-\pi/3$ y eso

| z_{1} + z_{3} | = | z_{2} - z_{3} |

$|z_1+z_3|=|z_2-z_3|$

¿Podría alguien mostrarme cómo resolver este problema? ¡Muchas gracias!

grand_chat

Si el numerador fuera

z_{1} - z_{3}

$z_1-z_3$ en lugar de

z_{1} + z_{3}

$z_1+z_3$ , entonces la respuesta sería (b), porque la información que te dan implicaría que dos de los lados tienen la misma longitud y el ángulo entre esos dos lados es

60^{\circ}

$60^\circ$ .

mea43

Sugerencia: cambie el origen a cualquiera de

z_{1}, z_{2}, z_{3}

$z_1, z_2, z_3$ para ver las propiedades del triángulo, ya que los ángulos y los lados son invariantes bajo la traslación del origen.

eddy khemiri

Deberías editar tu publicación: de hecho es

\frac{z1 + z3}{z2 - z3} = e^{- i \frac{π}{3}}

$\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}=e^{-i\frac{\pi }{3}}$ y

\arg (\frac{z1 + z3}{z2 - z3}) = - \frac{π}{3}

$\arg \left(\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}\right)=-\frac{\pi }{3}$ . Como @user21820, no creo que puedas saber mucho más sobre

z 1, z 2, z 3

$z1,z2,z3$ ...

Mundo mejor

@ mea43 Señor, lo intenté durante mucho tiempo, pero no pude llegar a ninguna parte. ¿Me podría ayudar?

Mundo mejor

@EddyKhemiri Editado, gracias por informarme.

Respuestas (1)

Aplicaciones geométricas de números complejos

Si el numerador fuera $z_1-z_3$ en lugar de $z_1+z_3$ , entonces la respuesta sería (b), porque la información que te dan implicaría que dos de los lados tienen la misma longitud y el ángulo entre esos dos lados es $60^\circ$ .
Sugerencia: cambie el origen a cualquiera de $z_1, z_2, z_3$ para ver las propiedades del triángulo, ya que los ángulos y los lados son invariantes bajo la traslación del origen.
Deberías editar tu publicación: de hecho es $\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}=e^{-i\frac{\pi }{3}}$ y $\arg \left(\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}\right)=-\frac{\pi }{3}$ . Como @user21820, no creo que puedas saber mucho más sobre $z1,z2,z3$ ...
@ mea43 Señor, lo intenté durante mucho tiempo, pero no pude llegar a ninguna parte. ¿Me podría ayudar?

usuario21820 · Answer 1

Hay un problema con el problema. Por lo que has dicho, sabemos que $(-z_1,z_2,z_3)$ son los vértices de un triángulo isósceles de lados iguales que se encuentran en $120^\circ$ . Pero entonces no sabemos mucho sobre $(z_1,z_2,z_3)$ , porque como puedes ver traduciendo $(-z_1,z_2,z_3)$ alrededor hace $(z_1,z_2,z_3)$ cambiar de forma

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grand_chat

mea43

eddy khemiri

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Respuestas (1)

usuario21820

¿Existe una forma natural de demostrar que las identidades trigonométricas también son válidas para los números complejos?

Demostrar desigualdades básicas de números complejos

Hacer una integral estándar con números complejos en lugar de usar una sustitución trigonométrica

limz→z0p(z)q(z)limz→z0p(z)q(z)\lim_{z\to z_0} \frac{p(z)}{q(z)} donde ppp y qqq son polinomios complejos.

Al demostrar que tres puntos complejos forman un triángulo equilátero

Suma de ángulos bajo los cuales se ve un segmento de línea fija desde puntos situados en otro segmento de línea

encontrar algún punto en un segmento de línea con una razón dada

Dificultad para garantizar que el sistema tenga una solución

¿Determinar los límites de una integral triple?

Spivak Pregunta 14, Capítulo 1, aclaración de una afirmación.