Área máxima de un parque cercado en el costado de una casa.

Question

Área máxima de un parque cercado en el costado de una casa.

área
geometría
Matemáticas
álgebra-precálculo
cálculo de variaciones

jason chen

Aquí hay un problema interesante: acaba de comprar un cachorro muy lindo y quiere que tenga un gran parque rectangular para correr. Además, su vecino tenía 100 pies de cerca extra y decidió dárselos. . Desea que un lado del corralito sea su casa, y los otros tres lados deben estar rodeados por la cerca. Con solo los 100 pies de cerca que recibió de su vecino, ¿cuáles son las dimensiones del corralito?

Este problema se puede resolver usando álgebra simple. Imagina que el ancho del corralito es perpendicular a la casa y el largo es paralelo. Dar variables a cada uno: $x$ por el ancho y $y$ por la longitud.

tienes las dos ecuaciones $2x+y=100$ y $x\cdot y=A$ dónde $A$ es el área de la pluma. Resolviendo para $y$ en la primera ecuación se obtiene $y=100-2x$ . Sustituyendo $y$ en la segunda ecuación te da $(100-2x)\cdot x=A$

Para encontrar el valor máximo, primero podemos encontrar las dos intersecciones x: $(0,0)$ y $(50,0)$ . El promedio de los valores de x te da el valor de x del vértice, que es $25$ . Reemplazando esto en la primera ecuación, obtienes $y=50$ .

Así que ahí lo tienes. El ancho del corralito es de 25, y el largo es de 50 para un área máxima de $25\cdot 50=1250$ . Pero esta no era mi verdadera pregunta.

La situación anterior era la de un parque infantil rectangular , pero me pregunto si es posible encontrar el área máxima de un parque infantil de cualquier forma, pero aún con 100 pies de cerca. El lado del corralito que está formado por la pared debe tener al menos 5 pies de ancho, para permitir el movimiento entre la casa y el corralito (tanto para el dueño como para el cachorro).

Si tiene una sugerencia o una respuesta parcial, no dude en publicarla como respuesta. Si tiene una respuesta completa, eso es aún mejor, pero solo estoy buscando sugerencias.

André Nicolás

No estoy seguro de dónde está el

5

$5$ supuestamente es. Si me olvido de eso, la mejor forma es un semicírculo. Y en su mayoría no se mantienen lindos.

chris h

Esta es una variante de un problema de trabajo de curso que hice hace unos 20 años (con solo una valla de longitud

L

$L$ en el espacio libre). Si divides un polígono regular en

N

$N$ cuñas cada cuña tiene un área dada por

\frac{L^{2}}{4 N^{2} \tan (π / N)}

$\frac{L^2}{4N^2 \tan(\pi/N)}$ . El área encerrada tiende a la de un círculo de circunferencia L a medida que aumenta el número de lados (rectos). (Un puntero para encajar con las respuestas que ya tiene)

Respuestas (2)

Área máxima de un parque cercado en el costado de una casa.

No estoy seguro de dónde está el $5$ supuestamente es. Si me olvido de eso, la mejor forma es un semicírculo. Y en su mayoría no se mantienen lindos.
Esta es una variante de un problema de trabajo de curso que hice hace unos 20 años (con solo una valla de longitud $L$ en el espacio libre). Si divides un polígono regular en $N$ cuñas cada cuña tiene un área dada por $\frac{L^2}{4N^2 \tan(\pi/N)}$ . El área encerrada tiende a la de un círculo de circunferencia L a medida que aumenta el número de lados (rectos). (Un puntero para encajar con las respuestas que ya tiene)

Rory Daulton · Answer 1

Si refleja su cerca sobre la pared (haga esto mentalmente, ya que no quiere que la cerca esté dentro de su casa) y agrega esa cerca reflejada a la original, obtiene un área nueva que es el doble de la original y está delimitada puramente por Esgrima.

Un resultado bien conocido en el cálculo de variaciones es que el área máxima encerrada por un perímetro dado se realiza mediante un círculo. Por lo tanto, el área máxima en un solo lado de la pared es un semicírculo.

Así que encuentra el radio del círculo con perímetro $200$ (el doble de la cerca real), encuentre el área del semicírculo con ese radio, y listo, al menos si el diámetro de ese semicírculo es mayor $5$ (cual es).

De manera similar, si sabe que el rectángulo con la relación perímetro-área más baja es el cuadrado, también puede usar esta técnica para resolver el problema original, sin necesidad de álgebra.
¿Qué pasa si el diámetro del semicírculo es mayor que la longitud de la casa?
gran pregunta Jared. y, ¿se le permite hacer un círculo, solo tocando la casa?
@Jared Entonces la solución será un arco de círculo para el cual la pared es una cuerda.

Gobabis · Answer 2

Estoy trabajando en un problema de optimización similar.

Sabemos que el área de un rectángulo es Área=largo * ancho $A=xy$ y que el perímetro = 2*largo + 2* ancho o $P=2x+2y$ como uno de los largos es la pared de la casa tenemos $P=x+2y=100$

Como hay una relación, reordenamos $y=\frac{100-x}{2}$ y sustituye esto en $A$ así tenemos $A=x\frac{100-x}{2}=50x-x^2$

Podemos suponer que $A$ tendrá un valor máximo en $\frac{dA}{dx}=0$

$\frac{dA}{dx}=-2x+50$ configurando esto para $0$ y resolviendo para $x$ encontramos eso $x=25$ desde que reemplazamos $y$ invertimos la sustitución y encontramos que el área máxima es $25*50=1250$ con largo 50 y ancho 25.

Por lo tanto, para cualquier forma si puedes encontrar $A'(x)$ y configúralo en $0$ debería poder encontrar las dimensiones optimizadas, podría ser mucho más difícil dependiendo de la complejidad $A(x)$

Área máxima de un parque cercado en el costado de una casa.

jason chen

André Nicolás

chris h

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Rory Daulton

Mees de Vries

Jared

gordito

CiaPan

Gobabis

Expresando el área como una función :)

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Área de la región sombreada en un cuadrado