¿Número de triángulos ΔABCΔABC\Delta ABC con ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o y AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} y AB=9AB=9AB=9?

Question

¿Número de triángulos ΔABCΔABC\Delta ABC con ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o y AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} y AB=9AB=9AB=9?

geometría
triangulos
Matemáticas
trigonometría
geometria plana
álgebra-precálculo

Estrellas fugaces

Me encontré con la siguiente pregunta hace un momento,

Un triángulo $\Delta ABC$ se dibuja tal que $\angle{ACB} = 30^o$ y longitud del lado $AC$ = $9*\sqrt{3}$

Si la longitud del lado $AB = 9$ , ¿cuántos triángulos posibles pueden $ABC$ existir como?

Aquí hay un diagrama para referencia:

Aquí esta lo que hice:

Usé la ley de los senos para encontrar el ángulo. $\angle ABC$

$\to \frac{9}{\sin(30^o)} = \frac{9*\sqrt{3}}{\sin(\angle ABC)}$

\to ∠ A B C = 60^{o}

$\to \angle ABC = 60^o$

Asi que, por lo tanto, $\Delta ABC$ sólo puede existir como un $1$ triángulo con ángulos: $30^o, 60^o$ y $90^o$ .

pero la respuesta dice $2$ Los triángulos son posibles. Entonces mi pregunta es: ¿cuál es el segundo triángulo posible?

poetasis

Con los lados y el ángulo dados, las únicas posibilidades son

∠ A B C = 60^{\circ}, B C = 18

$\space\angle ABC=60^\circ,\space BC=18\space$ o

∠ A B C = 120^{\circ}, B C = 9.

$\space\angle ABC=120^\circ,\space BC=9. \space$

Respuestas (4)

¿Número de triángulos ΔABCΔABC\Delta ABC con ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o y AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} y AB=9AB=9AB=9?

Con los lados y el ángulo dados, las únicas posibilidades son $\space\angle ABC=60^\circ,\space BC=18\space$ o $\space\angle ABC=120^\circ,\space BC=9. \space$

etemon · Answer 1

Tenga en cuenta que

pecado (∠ A B C) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow ∠ A B C = 60^{\circ} o 120^{\circ}

$\sin (\angle ABC)=\frac{\sqrt3}2\quad\Rightarrow \angle ABC= 60^{\circ}\quad\text{or}\quad120^{\circ}$ Por lo tanto, hay otro triángulo con ángulos

30^{\circ}, 30^{\circ}, 120^{\circ}

$30^{\circ},30^{\circ},120^{\circ}$ .

Correcto. Olvidé que el seno es positivo en el cuadrante 2 y el ángulo es menor que $180^o$ , ¡Muchas gracias!

Saksham Sethi · Answer 2

Cuando resolviste la ecuación de la Ley de los senos, olvidaste una solución.

Tenga en cuenta que

pecado (∠ A B C) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (\angle ABC)=\frac{\sqrt3}{2}$ implica que

∠ A B C = 60^{\circ} o 120^{\circ}

$\angle ABC= 60^{\circ}\quad\text{or}\quad120^{\circ}$ ,

en lugar de solo $60$ .

Espero que esto ayude.

usuario997661 · Answer 3

Una alternativa:

Considerar,

$h$ es la altura y es igual a $a\sin\theta$ .

Si $b\gt h$ , hay dos triángulos posibles.

Si $b=h$ , hay un triángulo posible.

Si $b\lt h$ , no hay triángulos posibles.

Cuando $b > h$ , siempre hay una segunda posibilidad para un ángulo?
@ShootingStars... sí, y aquí estamos considerando los casos en los que $\theta\lt90^\circ.$

ryang · Answer 4

Dibujar el diagrama sistemáticamente (y más razonablemente; por ejemplo, $AC$ debe dibujarse casi el doble de largo que, en lugar de aproximadamente la misma longitud que, $AB$ ) ayuda a que los casos múltiples se vuelvan visibles:

En general, para $\theta\in(0^\circ,180^\circ),$
$pecado θ = k ⟹ θ = arcsen k o 180^{\circ} - arcsen k,$ $\sin\theta=k\implies\theta=\arcsin k \;\text{ or }\; 180^\circ-\arcsin k,$ mientras $porque θ = k ⟹ θ = \arccos k .$ $\cos\theta=k\implies\theta=\arccos k.$
Alternativamente, usando la Ley de los cosenos en lugar de la Ley de los senos:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 (A C) (B C) porque ∡ A C B B C^{2} - 27 B C - 162 = 0 B C = 9 o 18$ $AB^2=AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos\measuredangle{ACB}\\ BC^2-27BC-162=0\\ BC=9 \;\text{or}\; 18.$

Esta es una muy buena manera de verlo. Casi entiendo tu idea con LOC (Ley de los cosenos), sin embargo, ¿por dónde empezarías? ¿Lo usarías para encontrar la longitud del tercer lado desconocido primero como lo da la siguiente ecuación? $a^2 = b^2+c^2-2bc*\cos(\theta)$ ?
Puedes aplicar la Ley de los Cosenos aquí. Aplicando la ecuación $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ con $b = 9\sqrt{3}$ , $b = 9$ , y $\gamma = 30^\circ$ , obtienes una ecuación cuadrática en $a$ . Como tiene un discriminante positivo, el triángulo tiene dos soluciones posibles.
@NFTaussig Ah, su útil observación deja en claro que cada vez que surge una ambigüedad de la Ley del seno, hay una ambigüedad correspondiente (en el mismo triángulo) que surge de la Ley del coseno. (Si bien la Ley del seno no eliminará ningún ángulo ilegítimo, uno que haga que los ángulos del triángulo excedan $180^\circ$ —el discriminante negativo de la Ley del Coseno hace este trabajo.) Nunca antes había pensado en usar la Ley del Coseno de esta manera; gracias por señalar!

¿Número de triángulos ΔABCΔABC\Delta ABC con ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o y AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} y AB=9AB=9AB=9?

Estrellas fugaces

poetasis

Respuestas (4)

etemon

Estrellas fugaces

etemon

Saksham Sethi

Estrellas fugaces

usuario997661

Estrellas fugaces

usuario997661

ryang

Estrellas fugaces

Estrellas fugaces

NF Taussig

ryang

△ABC△ABC\triángulo ABC con un punto DDD adentro tiene ∠BAD=114∘∠BAD=114∘\angle BAD=114^\circ, ∠DAC=6∘∠DAC=6∘\angle DAC=6^\circ , ∠ACD=12∘∠ACD=12∘\ángulo ACD=12^\circ, y ∠DCB=18∘∠DCB=18∘\ángulo DCB=18^\circ.

Suma de ángulos bajo los cuales se ve un segmento de línea fija desde puntos situados en otro segmento de línea

Una función para generar ternas pitagóricas

Supongamos que ∠BAC=60∘∠BAC=60∘\ángulo BAC = 60^\circ y ∠ABC=20∘∠ABC=20∘\ángulo ABC = 20^\circ. Un punto EEE dentro de ABCABCABC satisface ∠EAB=20∘∠EAB=20∘\angle EAB=20^\circ y ∠ECB=30∘∠ECB=30∘\angle ECB=30^\circ.

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Problema de geometría triangular

Ángulos que determinan un punto interior a un triángulo

¿Cómo encuentras las ternas pitagóricas que corresponden aproximadamente a un triángulo rectángulo con un ángulo dado?

Intersección del círculo en coordenadas radiales?

Círculos iguales empaquetados en △ABC△ABC\triángulo ABC con AC=9AC=9AC=9, AB=12AB=12AB=12, ∠CAB=90∘∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ