Encuentre el centro del círculo dadas dos rectas tangentes y un punto de tangencia

Los centros ( $R$y $S$abajo) de los círculos objetivo se encuentran en la parábola cuyo foco es el punto tangente ( $T$) y la directriz es la "otra" recta tangente (a través de algún punto $U$).

Como muestra la figura, se determina fácilmente que los radios correspondientes ( $r$y $s$) satisfacer

$$r(1+\cos\theta) = d = s(1-\cos\theta) \quad\to\quad \{r,s\}=\frac{d}{1\pm\cos\theta}\tag{1}$$ donde $d$es la distancia focal-directriz (es decir, la distancia desde el punto tangente a la "otra" línea tangente) y $\theta$ es el ángulo entre los vectores de dirección de las dos líneas (de manera equivalente, entre los vectores normales).

Ahora, si $t$y $u$son los vectores unitarios normales a las rectas tangentes a través de $T$y $U$, entonces podemos escribir

$$d = |(U-T)\cdot u| \qquad \cos\theta = t\cdot u \tag2$$ de modo que $$\{R,S\} = T \pm_1 \frac{|(U-T)\cdot u|}{1\pm t\cdot u} \;t \tag3$$ donde $\pm_1$es una cobertura de mi parte en caso de un error de signo debido a invertir un vector en alguna parte. Salvo un error, "debería" poder aprovechar la distancia firmada $d$escribir $$\{R,S\} = T \pm \frac{(U-T)\cdot u}{1\pm t\cdot u}\;t \tag4$$ donde los dos $\pm$s partido.

(Comprobación de cordura: cambiar la dirección de $t$efectivamente invierte cada $\pm$, entonces eso es consistente. Lo mismo para $u$. Entonces la única pregunta es si debería haber escrito $T-U$en lugar de $U-T$, pero creo que mi boceto de GeoGebra me confirma en eso).

Tenga en cuenta que, si las líneas son paralelas, entonces $t\cdot u = \pm 1$(con el signo dependiendo de cómo se elijan las normales), de modo que uno de los centros $R$, $S$se encuentra a mitad de camino entre las líneas, y el otro se dispara hacia el infinito, como se esperaba. $\square$

Dado:

$\text{Point of tangency on}\color{orange}{\text{ Orange Line: }}(X_1,Y_1)\\ \text{Slope of}\color{orange}{\text{ Orange Line: }}m_1\\ \text{Point on}\color{green}{\text{ Green Line: }}(X_2,Y_2)\\ \text{Slope of}\color{green}{\text{ Green Line: }}m_2$

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Deducciones:

$\text{Equation of }\color{orange}{\text{Orange Line }} l_1:\mathbf r=(X_1,Y_1)+k(1,m_1)\\ \text{Equation of normal to }\color{orange}{\text{Orange Line }} l_2:\mathbf r=(X_1,Y_1)+k\left(\frac{-m_1}{\sqrt{1+m_1^2}},\frac1{\sqrt{1+m_1^2}}\right)\\ \text{Equation of }\color{green}{\text{Green Line }} l_3:m_2(x-X_2)-(y-Y_2)=0$

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El centro del círculo se encuentra en $l_2$, asuma que tiene el vector de posición $(X_1,Y_1)+r\left(\frac{-m_1}{\sqrt{1+m_1^2}},\frac1{\sqrt{1+m_1^2}}\right)$. Su distancia de $(X_1,Y_1)$y $l_2$es $|r|$. Requerimos que su distancia desde la recta tangente $l_3$también ser $|r|$, es decir

$$|r|=\left|m_2\left(X_1-X_2-\frac{rm_1}{\sqrt{1+m_1^2}}\right)+\left(Y_2-Y_1-\frac r{\sqrt{1+m_1^2}}\right)\right|$$ y si mis cálculos son correctos, esto se reduce a la expresión explícita para $r$dado a continuación: $$r=\frac{m_2(X_1-X_2)-(Y_1-Y_2)}{\frac{1+m_1m_2}{\sqrt{1+m_1^2}}\pm1}$$ Todo lo que necesitas hacer es encontrar $r$: $|r|$sería el radio del círculo. Conéctelo al vector de posición del centro.

Convierta las ecuaciones de las dos líneas a la forma

$$\begin{align} ax + by &= c, \tag1\\ px + qy &= r \tag2 \end{align}$$ donde $a^2 + b^2 = p^2 + q^2 = 1.$De esta forma, el lado izquierdo de la ecuación da la distancia del punto $(x,y)$ desde una línea que pasa por el origen paralelo a la línea dada.

Ahora considere estas dos ecuaciones:

$$\begin{align} (a + p)x + (b + q)y &= c + r, \tag3\\ (a - p)x + (b - q)y &= c - r, \tag4 \end{align}$$ que se forman a partir de la suma o diferencia de ecuaciones $(1)$y $(2)$. Si las rectas en las ecuaciones $(1)$y $(2)$se intersecan, luego las ecuaciones $(3)$y $(4)$son las ecuaciones de las dos bisectrices de las rectas $(1)$y $(2)$; pero si lineas $(1)$y $(2)$son paralelas, entonces una de las ecuaciones $(3)$o $(4)$es la ecuación de la línea a medio camino entre las líneas $(1)$y $(2)$y la ecuación restante no tiene solución. (En el caso paralelo, uno del segundo par de ecuaciones tiene la forma $0x + 0y = k$.)

Suponga que el punto de tangencia dado está en la línea $(1)$. Encuentre la recta que pasa por el punto de tangencia perpendicular a la recta $(1)$y encuentra las intersecciones de esa línea con las líneas $(3)$y $(4)$. (En el caso paralelo, simplemente encuentre la intersección con cualquiera de las líneas $(3)$o $(4)$ existe.) Las intersecciones que encuentra en este último paso son los centros de los círculos que resuelven el problema, y ​​de hecho, si las dos líneas originales no son paralelas, hay dos círculos, uno a cada lado de la línea con la línea dada. punto de tangencia.

Puede manejar el caso "prácticamente paralelo" (donde los valores numéricos de las ecuaciones son tan cercanos que no puede saber si son realmente paralelos dentro de la precisión de sus cálculos) descartando cualquier línea "bisectriz" cuyos coeficientes sean demasiado pequeños.

Podemos resolver esto en el caso general, y luego debería poder ingresar sus valores específicos (o incluso escribir una función en el lenguaje de programación de su elección para que lo haga por usted).

Primero, voy a hacer trampa al hacer un par de suposiciones que sé que no se garantiza que sean ciertas, a saber:

1. Las dos rectas tangentes son reflejos entre sí en la $x$ eje, por lo que sus gradientes son un factor de -1 entre sí;
2. El punto de intersección de las líneas es el origen;
3. El círculo está sentado a la derecha de las líneas; y
4. El punto tangente conocido es el que se encuentra sobre el círculo.

Entonces se parece a esto:

Debe quedar claro que el centro del círculo estará en la $x$-eje, por lo que solo tenemos que dibujar una perpendicular a la línea tangente superior y averiguar dónde se cruza con ese eje. El gradiente de esa perpendicular será $-\frac{1}{m}$ y por tanto su ecuación será

$$\begin{eqnarray}y - y_Q & = & -\frac{1}{m}(x - x_Q) \\ y - m x_Q & = & -\frac{1}{m} x + \frac{1}{m} x_Q \\ y & = & -\frac{1}{m} x + \left( 1 + \frac{1}{m} \right) x_Q\end{eqnarray}$$

y despejando $y_C = 0$da $x_C = (m + 1) x_Q$.

Entonces, encontrar el radio es tan simple como encontrar la distancia entre $C$y $Q$, que es solo

$$\begin{eqnarray} r & = & \sqrt{(x_Q - x_C)^2 + (y_Q - y_C)^2} \\ & = & \sqrt{(x_Q - (m + 1) x_Q)^2 + (m x_Q - 0)^2} \\ & = & x_Q \sqrt{m^2 + m^2} \\ & = & x_Q m \sqrt{2} \end{eqnarray}$$

Lo cual está muy bien, pero ¿qué pasa con todas esas suposiciones que hicimos? Bueno, siempre y cuando las líneas no sean paralelas (en cuyo caso solo encuentra la distancia perpendicular entre ellas y la divide por la mitad) podemos transformar nuestras coordenadas de una manera que preserve todas las distancias pero satisfaga esas suposiciones. A continuación, le indicamos cómo realizar esos ajustes:

• Si el punto tangente conocido está debajo del círculo, podemos invertir las rectas tangentes intercambiando los signos de sus gradientes y, de hecho, podemos escribir $r = |x_Q m \sqrt{2}|$ y esta bien.

• Para rotar el sistema de coordenadas sobre el origen en el ángulo $\theta$, aplica la transformación:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{bmatrix}$$

donde el ángulo que necesitará aplicar es el que logra los supuestos 1 y 3, notando que una línea de gradiente $m$pasando por el origen forma un ángulo $theta$con la x positiva$x$-eje donde $m = \tan \theta$, por lo que debería poder encontrar un ángulo adecuado que ajuste las dos líneas a la posición correcta.

• Para trasladar las coordenadas de modo que la intersección esté en el origen, puede encontrar el punto de intersección resolviendo el par de ecuaciones $(y_0 - y_i) = m_i(x_0 - x_i)$para $(x_0, y_0)$basado en los puntos y gradientes conocidos, luego realizando la transformación $(x', y') = (x - x_0, y - y_0)$PS

Puede trabajar todo eso en el álgebra necesaria trabajando hacia atrás y luego resolver para la r requerida$r$.

Precaución: ¡De hecho, hay dos círculos! En este método, la segunda solución se encontrará poniendo un extra de $90^{\circ}$en la transformación de rotación, que mezcla los signos de algunas cosas y actúa de manera similar a las otras respuestas aquí que le dan ecuaciones cuadráticas para $r$.

En otro enfoque, podemos mantener los cálculos al nivel de sistemas de dos ecuaciones lineales, excepto en el lugar donde ubicamos el "punto tangente equidistante". Llamaremos a la línea L 1$\ L_1 \ $la línea de pendiente m 1$\ m_1 \ $que contiene el punto tangente conocido ( a , b )$\ (a,b) \ $y línea L 2$\ L_2 \ $la línea de pendiente m 2$\ m_2 \ $que contiene el punto ( c , d )$\ (c,d) \ $no en el círculo; el segundo punto tangente, que llamaremos ( t , u ) ,$\ (t,u) \ ,$se encuentra en L 2 .$\ L_2 \ \ .$

Su preocupación acerca de si habría suficientes ecuaciones para resolver todas las variables es una consideración razonable, pero no será un problema, ya que es posible encontrar el círculo en cuestión completamente mediante la construcción de regla y regla. El problema está lo suficientemente bien definido como para permitir una solución.

El caso de las "rectas tangentes paralelas" es el más fácil ya que las pendientes son m 1 = m 2 = m .$\ m_1 = m_2 = m \ \ .$El segundo punto tangente es la intersección de la línea L 2$\ L_2 \ $con la recta perpendicular a L 1$\ L_1 \ $a través de ( a , b ) .$\ (a,b) \ \ .$ Entonces tenemos

$$u - b \ = \ -\frac{1}{m} · (t-a) \ \ , \ \ u - d \ = \ m · (t- c) \ \ \rightarrow \ \ \begin{array}{cc} -mu & + \ \ mb & = \ \ t \ - \ a \\ u & - \ \ d & = \ \ mt \ - \ mc \end{array} \ \ ,$$

que puedes resolver para t$\ t \ $y U$\ u \ $por su método preferido de ecuaciones lineales. (Si las rectas tangentes son horizontales o verticales, no se podrá hacer uso de m$\ m \ $, pero el cálculo se vuelve aún más simple , ya que el segundo punto tangente y el centro del círculo compartirán una coordenada con el punto tangente conocido. Esto también es aplicable en el caso general si una de las líneas tangentes es horizontal o vertical).

El centro ( h , k )$\ (h,k) \ $del círculo se encuentra entonces a partir de h = a + t$\ h \ = \ \frac{a + t}{2} \ , \ k \ = \ \frac{b + u}{2} \ \ $y el radio del círculo está dado por 2 r = √$\ 2r \ = \ \sqrt{(a-t)^2 \ + \ (b-u)^2} \ \ .$

El caso general requiere el trabajo adicional de encontrar el punto de intersección ( p , q )$\ (p,q) \ $de L 1$\ L_1 \ $y L 2$\ L_2 \ $. Usando sus ecuaciones lineales, obtenemos

$$q - b \ = \ m_1 · (p-a) \ \ , \ \ q - d \ = \ m_2 · (p- c) \ \ \rightarrow \ \ \begin{array}{cc} q & - \ \ b & = \ \ m_1p \ - \ \ m_1a \\ q & - \ \ d & = \ \ m_2p \ - \ m_2c \end{array} \ \ ,$$

resolviendo este par para las coordenadas de la intersección. Como los dos puntos tangentes están igualmente distantes de ( p , q ) ,$\ (p,q) \ \ ,$ podemos escribir

$$(a - p)^2 \ + \ (b - q)^2 \ \ = \ \ (t - p)^2 \ + \ (u - q)^2 \ \ ,$$

cuyo lado izquierdo tiene un valor numérico conocido. Ahora bien, esta ecuación parece que presenta una dificultad, ya que tiene las dos coordenadas desconocidas del segundo punto tangente. Pero como "conocemos" dos puntos en L 2 ,$\ L_2 \ ,$podemos expresar su pendiente como m 2 = u - q$\ m_2 \ = \ \frac{u \ - \ q}{t \ - \ p} \ \ ;$insertar esto en nuestra "ecuación de distancia" produce

$$(a - p)^2 \ + \ (b - q)^2 \ \ = \ \ [ m^2_2 \ + \ 1 ] · (t - p)^2 \ \ ,$$ a partir de lo cual podemos determinar t$\ t \ $y consecuentemente u .$\ u \ \ .$[ Tenga en cuenta que esta es la única ecuación cuadrática que encontramos en este argumento. De hecho, hay dos soluciones, como se observa en las otras respuestas publicadas: el "otro círculo" tiene su segundo punto tangente en L 2$\ L_2 \ $pero más allá del punto de intersección ( p , q ) .$\ (p,q) \ \ .$Cuando las dos rectas tangentes son paralelas, este punto tangente se ha "retirado" infinitamente lejos del "círculo cercano", con el radio de este círculo "explotando" a un valor infinito; por lo tanto, este segundo círculo "desaparece" de la solución.]

Finalmente, con el punto tangente ( t , u )$\ (t,u) \ $ubicado, podemos extender perpendiculares desde L 1$\ L_1 \ $y L 2$\ L_2 \ $en los puntos tangentes apropiados, siendo el centro del círculo la intersección de estas líneas. Por tanto, resolvemos para ( h , k )$\ (h,k) \ $ en el sistema

$$k - b \ = \ -\frac{1}{m_1} · (h-a) \ \ , \ \ k - u \ = \ -\frac{1}{m_2} · (h- t) \ \ \rightarrow \ \ \begin{array}{cc} -m_1k & + \ \ m_1b & = \ \ h \ - \ \ a \\ -m_2k & + \ \ m_2u & = \ \ h \ - \ t \end{array} \ \ .$$

El radio de los círculos ahora se puede obtener de r = √

$$\ r \ = \ \sqrt{(a-h)^2 \ + \ (b-k)^2} \ \ \ \text{or} \ \ \ \sqrt{(t-h)^2 \ + \ (u-k)^2} .$$