¿Una pregunta ingenua sobre la transformación de calibre U (1) U (1) U (1) del campo electromagnético?

Question

¿Una pregunta ingenua sobre la transformación de calibre U (1) U (1) U (1) del campo electromagnético?

Física
simetría
teoría de calibre
modelo de celosía
materia Condensada
invariancia de calibre

kai li

Para simplificar, a continuación establecemos la carga eléctrica $e=1$ y considere un sistema de electrones libres sin espín de celosía en un campo magnético estático externo $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ descrito por el hamiltoniano $H=\sum_{ij}t_{ij}c_i^\dagger c_j$ , dónde $t_{ij}=\left | t_{ij} \right |e^{iA_{ij}}$ con el correspondiente campo patrón reticular $A_{ij}$ . Como sabemos la transformación $\mathbf{A}\rightarrow \mathbf{A}+\nabla\theta$ no cambia el campo magnético físico $\mathbf{B}$ , y la transformación inducida en hamiltoniano lee

H \to H^{'} = \sum_{i j} t_{i j}^{'} C_{i}^{†} C_{j}

$H\rightarrow H'=\sum_{ij}t_{ij}'c_i^\dagger c_j$ con

t_{i j}^{'} = e^{i θ_{i}} t_{i j} e^{- i θ_{j}}

$t_{ij}'=e^{i\theta_i}t_{ij}e^{-i\theta_j}$ . Ahora mi punto de confusión es:

¿Estos dos hamiltonianos $H$ y $H'$ describir la misma física? ¿ O describen algunos de los mismos estados cuánticos ? ¿O qué propiedades físicas comunes comparten?

solo lo se $H$ y $H'$ tienen el mismo espectro, muchas gracias.

Adán

Si haces la transformación

c_{i}^{(†)} \to e^{- (+) i θ_{i}} c_{i}^{(†)}

$c_i^{(\dagger)}\to e^{-(+)i\theta_i}c_i^{(\dagger)}$ , ves que

H^{'} \to H

$H'\to H$ , y el modelo es de hecho invariante de calibre. La física es pues la misma.

kai li

@ Adam Sí, tienes razón. Pero, ¿por qué hacemos esta transformación? ¿Se puede deducir del modelo microscópico subyacente o es solo el requisito de invariante de calibre para describir la misma física?

Adán

En el modelo subyacente, corresponde a la transformación

A_{i} (x) \to A_{i} (x) + \partial_{i} θ (x)

$A_i(x)\to A_i(x)+\partial_i \theta(x)$ y

\hat{ψ} (x) \to e^{i θ (x)} \hat{ψ} (x)

$\hat\psi(x)\to e^{i\theta(x)}\hat\psi(x)$ (con quizás algunos signos menos) en el hamiltoniano microscópico. O si toma su hamiltoniano de celosía como "fundamental" (como en el QCD de celosía), puede demostrar que reproduce el hamiltoniano continuo habitual en el límite del espaciado de celosía que se desvanece. Entonces, tal vez te estés preguntando qué significa la transformación de calibre U(1) en la mecánica cuántica.

shenghan jiang

Un sistema no solo está determinado por su hamiltoniano, sino también por su espacio de Hilbert. La teoría de calibre U (1) puede provenir de la restricción de su espacio de Hilbert.

kai li

Observaciones:

e^{i θ_{i} {\hat{n}}_{i}} c_{j}^{†} e^{- i θ_{i} {\hat{n}}_{i}} = δ_{i j} e^{i θ_{i}} c_{j}^{†} + (1 - δ_{i j}) c_{j}^{†}

$e^{i\theta _i \hat{n}_i}c_j^\dagger e^{-i\theta _i \hat{n}_i}=\delta _{ij}e^{i\theta _i} c_j^\dagger +(1-\delta _{ij})c_j^\dagger$ , y por lo tanto

H^{'} = U H U^{- 1}

$H'=UHU^{-1}$ con

U = \prod_{i} e^{i θ_{i} {\hat{n}}_{i}}

$U=\prod _ie^{i\theta _i\hat{n}_i}$ .

kai li

@Shenghan Jiang Gracias por tu comentario. ¿Podría decirme cuál es la restricción del espacio de Hilbert?

Respuestas (1)

¿Una pregunta ingenua sobre la transformación de calibre U (1) U (1) U (1) del campo electromagnético?

Si haces la transformación $c_i^{(\dagger)}\to e^{-(+)i\theta_i}c_i^{(\dagger)}$ , ves que $H'\to H$ , y el modelo es de hecho invariante de calibre. La física es pues la misma.
@ Adam Sí, tienes razón. Pero, ¿por qué hacemos esta transformación? ¿Se puede deducir del modelo microscópico subyacente o es solo el requisito de invariante de calibre para describir la misma física?
En el modelo subyacente, corresponde a la transformación $A_i(x)\to A_i(x)+\partial_i \theta(x)$ y $\hat\psi(x)\to e^{i\theta(x)}\hat\psi(x)$ (con quizás algunos signos menos) en el hamiltoniano microscópico. O si toma su hamiltoniano de celosía como "fundamental" (como en el QCD de celosía), puede demostrar que reproduce el hamiltoniano continuo habitual en el límite del espaciado de celosía que se desvanece. Entonces, tal vez te estés preguntando qué significa la transformación de calibre U(1) en la mecánica cuántica.
Un sistema no solo está determinado por su hamiltoniano, sino también por su espacio de Hilbert. La teoría de calibre U (1) puede provenir de la restricción de su espacio de Hilbert.
Observaciones: $e^{i\theta _i \hat{n}_i}c_j^\dagger e^{-i\theta _i \hat{n}_i}=\delta _{ij}e^{i\theta _i} c_j^\dagger +(1-\delta _{ij})c_j^\dagger$ , y por lo tanto $H'=UHU^{-1}$ con $U=\prod _ie^{i\theta _i\hat{n}_i}$ .
@Shenghan Jiang Gracias por tu comentario. ¿Podría decirme cuál es la restricción del espacio de Hilbert?

Trimok · Answer 1

para constante $t_{ij}$ , la transformación puede considerarse como una simple redefinición de la base del estado cuántico.

Una base natural para sus estados cuánticos son los $|\psi_j \rangle = c_j^+|0\rangle$ . En esta base, usted tiene: $H|\psi_j \rangle = t_{ij}|\psi_i \rangle$ , entonces esto significa que $H_{ij}=t_{ij}$ , por lo que podemos escribir $H = \sum H_{ij}~ c^+_i c_j$ .

Ahora, podemos decidir cambiar la base $|\psi' \rangle = U |\psi \rangle$ , con $U = Diag (e^{i\theta_1},e^{i\theta_2}, ....e^{i\theta_n})$ , de modo que $|\psi_j \rangle \to |\psi'_j \rangle = e^{i\theta_j} |\psi_j \rangle$ . La matriz $U$ es unitaria, y transforma una base ortonormal en otra base ortonormal.

En esta nueva base, el hamiltoniano es simplemente $H' = U H U^{-1}$ , o expresando los elementos del operador $H'$ , obtenemos : $H'_{ij} = e^{i\theta_i} H_{ij}e^{-i\theta_j}$

Como sabes, multiplicar un estado de base cuántica $|\psi_j \rangle$ por una fase unitaria $e^{i\theta_j}$ no cambia el estado físico (que es $|\psi_j \rangle \langle|\psi_j|$ ), por lo que la física descrita por $H$ y $H'$ es lo mismo, los valores propios $E_k$ de $H$ y $H'$ son iguales, etc.

@ Trimok Gracias por tu comentario. Por cierto, creo que solo la fase global no es física, mientras que la fase relativa (aquí está la fase local) $U(1)$ transformación) es físico.
Para ser justos, considero solo transformaciones globales en mi respuesta (con constantes $t_{ij}$ ), por lo que me doy cuenta de que no responde a la pregunta... El local $U(1)$ la invariancia no es realmente "física". El $U(1)$ la invariancia del campo EM es una redundancia matemática, no una verdadera simetría. Esto significa que contamos en exceso el número total de estados, es decir, que un estado físico está representado por muchos estados matemáticos, y es necesario reducir este número, para mantener solo un representante para un estado físico.

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kai li

Adán

kai li

Adán

shenghan jiang

kai li

kai li

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Trimok

kai li

Trimok

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