Simetrías Locales y Globales

Question

Simetrías Locales y Globales

eduardo hughes

¿Alguien podría señalarme la dirección de una definición matemáticamente rigurosa de simetrías locales y simetrías globales para una teoría de campo (clásica) dada?

Heurísticamente, sé que las simetrías globales "actúan igual en todos los puntos del espacio-tiempo", mientras que las simetrías locales "dependen del punto del espacio-tiempo en el que actúan".

Pero esto parece de alguna manera insatisfactorio. Después de todo, la simetría de Lorentz para un campo escalar $\psi(x)\rightarrow \psi(\Lambda^{-1}x)$ se llama convencionalmente una simetría global, pero también claramente $\Lambda^{-1}x$ depende de $x$ . ¡Así que aplicar ingenuamente los aforismos anteriores no funciona!

Reuní la siguiente definición de varias fuentes, incluida esta . Sin embargo, creo que está mal, y estoy confundiendo diferentes principios que aún no están claros en mi cabeza. ¿La gente está de acuerdo?

Una simetría global es una simetría que surge de la acción de un grupo de Lie de dimensión finita (por ejemplo, grupo de Lorentz, $U(1)$ )

Una simetría local es una simetría que surge de la acción de un grupo de Lie de dimensión infinita.

Si es así, ¿cómo ve la simetría local del electromagnetismo? $A^{\mu}\rightarrow A^{\mu}+\partial^{\mu}\lambda$ como la acción de un grupo de Lie?

qmecanico

Su ejemplo (v3) se llama simetría global porque

Λ

$\Lambda$ no depende de

x

$x$ .

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Simetrías Locales y Globales

Su ejemplo (v3) se llama simetría global porque $\Lambda$ no depende de $x$ .

usuario1504 · Answer 1

Sus definiciones propuestas no son del todo correctas. Esbozaré las definiciones correctas, pero en realidad no las daré porque no sé cómo eliges definir la teoría clásica de campos.

Un grupo de simetrías locales es un grupo de transformaciones de simetría donde puedes cambiar el sistema de manera diferente en diferentes lugares en el espacio/tiempo.

Una simetría es global (en el contexto de la teoría de campos) si actúa de la misma manera en todos los puntos.

Las simetrías locales son necesariamente de dimensión infinita, a menos que la variedad de espacio-tiempo consista en un número finito de puntos (lo que sucede en la teoría de calibre de red). Las simetrías globales suelen ser de dimensión finita. Las teorías de campo que tienen infinitas simetrías globales son muy interesantes o no muy interesantes, dependiendo de con quién te juntas.

Las simetrías de calibre suelen ser simetrías locales. No tienen que serlo. Puede medir un global $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ , si estás de humor para hacerlo. Pero las simetrías de calibre más útiles son las que nos permiten describir la física del electromagnetismo y las fuerzas nucleares en términos de variables con interacciones locales. Nuestra descripción de la gravedad en términos de un tensor métrico también implica simetrías de calibre. Esto es quizás más desconcertante que útil.

Dejar $\Sigma$ ser el espacio-tiempo, probablemente $\mathbb{R}^{3,1}$ . La simetría local de la $1$ -forma descripción del electromagnetismo es una acción del grupo $\mathcal{G} = \{ \lambda: \Sigma \to U(1) \}$ en el espacio de campo $\mathcal{F} \simeq \Omega^1(\Sigma)$ , en el cual $\lambda$ envía el formulario 1 $A$ hacia $1$ -forma $\lambda \dot{} A$ dado en cada $x$ en $\Sigma$ por

(λ \dot{} A)_{m} (X) = A_{m} (X) + λ^{- 1} \partial_{m} λ (X) .

$(\lambda \dot{} A)_\mu(x) = A_\mu(x) + \lambda^{-1}\partial_\mu \lambda(x).$ El grupo de transformaciones de norma es el subgrupo

G_{0}

$\mathcal{G}_0$ de funciones que se convierten en la identidad en el infinito. Aparentemente, no podemos medir nada sobre los fenómenos electromagnéticos que dependan de

F

$\mathcal{F}$ y

G

$\mathcal{G}$ , excepto a través del cociente

F / G_{0}

$\mathcal{F}/\mathcal{G}_0$ .

¿Puede señalar un ejemplo de un indicador global calibrado? $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ ¿por favor? Suena interesante.
Gran respuesta. Podría agregar que muchos físicos usan una definición ligeramente diferente de "grupo de calibre". En lugar de considerar el espacio de los mapas (que es de dimensión infinita) $M\rightarrow G$ como grupo de calibre, la gente suele llamar $G$ el grupo de indicadores (que suele ser de dimensión finita).
@MichaelBrown: Un ejemplo tonto: suponga que desea describir la mecánica clásica de una partícula en $\mathbb{R}P^2$ . Mapas a $\mathbb{R}P^2$ probablemente se los considere más fácilmente como mapas para $S^2$ , módulo la acción global obvia de $Z/2$ .
@Heidar: Sí. Evité usar este término. Pero estoy de acuerdo: es una buena convención decir grupo de calibre para el espacio objetivo, y grupo de transformaciones locales para mapas en este espacio, y grupo de transformaciones de calibre para el subgrupo de transformaciones locales que en realidad son transformaciones de calibre (las que desaparecen en infinito).
...y luego edité la respuesta para incluir los términos...
Maravillosa respuesta: eso ha aclarado mucho todo, ¡muchas gracias!
@user1504: Solo una pregunta, ¿por qué su $\lambda$ tiene que mapear en $U(1)$ ? ¿Sería más general $\lambda$ con espacio objetivo $\mathbb{C}$ no funciona, por alguna razón?
@EdwardHughes: tenga en cuenta que cometí un error tipográfico en la última ecuación. Olvidé un factor de $\lambda^{-1}$ , lo que hace que el segundo término sea igual a $\partial_\mu \operatorname{ln}(\lambda(x))$ . $\lambda$ no debe tomar valores en $\mathbb{C}^\times$ , porque entonces estaríamos agregando formas de valor complejo a formas reales, después de haber decidido representar el campo de indicador mediante formas de 1 de valor real.
@user1504: Dices que podrías medir un ℤ/𝟚ℤ global. Estoy confundido por el uso de "calibre" como verbo en este contexto. ¿Qué haces si mides algo?
@Friedrich: Para abreviar, lo explicaré en física clásica. Si tienes un grupo $G$ actuando sobre el espacio $H$ de historias, para 'medir' $G$ significa considerar un sistema clásico diferente cuyo espacio de historias es el cociente $H/G$ .

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eduardo hughes

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Miguel

Heidar

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eduardo hughes

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Federico

usuario1504

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