Ejemplos de "medir una simetría global"

Aquí hay un ejemplo simple, uno de los primeros que debe tratar de entender. La teoría tiene libertad$U(1)$campo escalar$\phi$en$d+1$dimensiones del espacio-tiempo, discutidas en la notación moderna de formas diferenciales. La densidad lagrangiana

$$L_0 = d\phi \wedge\star d\phi.$$

Esto tiene una simetría global manifiesta.$\phi \mapsto \phi + \theta$. Si realizamos una variación local donde$\theta$tiene una primera derivada pequeña, entonces el Lagrangiano no es invariante, en cambio, hasta los términos de contorno

$$\delta L_0 = 2 \theta d\star d\phi + \mathcal{O}(\theta^2) = \theta\ dj + \mathcal{O}(\theta^2),$$

donde identificamos la corriente de Noether$d$-forma$j = \star d \phi$. La ley de conservación

$$dj = 2 d\star d\phi = 0$$

es equivalente a las ecuaciones de movimiento. Para medir esta simetría, acoplamos a un$U(1)$campo de medida$A$. El acoplamiento mínimo es

$$L_0 - A \wedge j = L_0 - 2 A \star d\phi.$$

Esta acción aún no es invariable en el indicador, pero podemos agregar términos locales posiblemente dependiendo de$\phi$y al menos segundo orden en$A$. Nos falta un término como$A \wedge \star A$. Si lo juntamos todo obtenemos

$$(d\phi - A) \wedge \star (d\phi - A).$$

Puedes comprobar que esta es una teoría trivial (!). Tenga en cuenta que este paso solo lo hemos acoplado a un campo de indicador de fondo. Si queremos integrar más$A$también, tenemos que elegir alguna medida. Este último paso, que es lo que suele llamarse calibración, no es canónico, pero generalmente usamos una medida gaussiana (Maxwell) para$A$y está bien Todavía obtenemos una teoría trivial:$\phi$actúa como la fase de un campo de Higgs para$A$.

Sin embargo, si en cambio la simetría fuera$\phi \mapsto \phi + 2\theta$, terminaríamos con$j = 4 \star d\phi$y un lagrangiano calibrado

$$(d\phi - 2A) \wedge \star (d\phi - 2A),$$

que puede verificar es un TQFT no trivial. Es el$\mathbb{Z}_2$teoría del calibre. Puedes ver que esta teoría tiene un$\mathbb{Z}_2$Simetría de 1 forma que, si mide, lo lleva de regreso a la teoría trivial anterior.

PD. Muy feliz de ver el interés en simetrías más altas :)