¿Cómo justificar la interacción materia-campo para el hamiltoniano no invariante de calibre?

Encontré esto interesante, porque al menos pedagógicamente, la gente escribirá interacciones electrónicas de largo alcance que rompen totalmente la invariancia del calibre. Quiero decir que todos hemos visto a alguien escribir una "interacción general de cuatro puntos":

$$\int\psi(1)\psi(2)\bar{\psi}(3)\bar{\psi}(4)V(1,2,3,4)$$ . Esto rompe la invariancia del indicador, que suele ser horrible, pero con frecuencia esto no parece conducir a ningún problema obvio. ¿Porqué es eso? Me ha molestado antes.

Para volver específicamente a su pregunta, primero reescribamos en el espacio real:

$$\int\Delta(r)U(r,r')\bar{\Delta}(r')$$ dónde $\Delta = c_{\uparrow}c_{\downarrow}$tiene $U(1)$cargar $2$. Esto no es calibre invariante a menos que $U$se transforma correctamente. Ahora comenzamos con un sistema invariante de calibre en algún nivel, por lo que debemos haber llegado a este punto "integrando" algunos grados de libertad cargados. En este escenario más simple hicimos la teoría de la perturbación de segundo orden y $U$es solo un correlador: $$U(r,r';A) = \langle O(r)\bar{O}(r') \rangle_{A}$$

dónde$O$tiene la carga correcta. O podría ser algo más complicado, los detalles no importan. He notado explícitamente que este correlacionador debe depender del campo de calibre$A$. Esto no es sorprendente ya que$U$mide una carga que se libera en$r$y destruido en$r'$- independientemente de los detalles, debe haber fases de Ahranov-Bohm. Es esta dependencia de$U$en$A$que mantiene la invariancia del indicador, más claro a continuación.

Hay una especie de receta de acoplamiento mínimo para$U$:

$$U(r_1,r_2;A) = \int \mathcal{DP}\exp(i\!\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!\!A(r')\cdot dr')$$

donde el$\mathcal{DP}$es alguna medida en el espacio de caminos desde$r_1$a$r_2$, y esta medida no depende$A$. Esto es mínimo en el sentido de ser, bueno, mínimo y en el sentido de que si expandes$U$como polinomio en derivadas recuperas la prescripción de acoplamiento mínima habitual. Puede ver que esto tiene propiedades de transformaciones de calibre correctas. En el caso especial en el que el movimiento es esencialmente semiclásico, solo se necesita una suma finita sobre las líneas de Wilson.

De acuerdo, esa es la forma en que esta interacción debe escribirse, ahora la verdadera pregunta es cuándo podemos ignorar todo esto, ya que seguramente no queremos estimar alguna medida integral de trayectoria en la escala atómica cuando apenas podemos estimar energías de interacción individuales en el escala atómica. Ahora, violar la invariancia de calibre conduce a cosas horribles, no necesito recordarlo. Pero claramente hay un sentido donde si$U(r,r')$tiene un pequeño radio de efecto y si probamos con una longitud de onda muy larga, no deberíamos saber que no es una función delta y, por lo tanto, no deberíamos saber que está violando la invariancia de calibre.

Esto no es realmente correcto: si seguimos nuestra prescripción de "acoplamiento mínimo" nos damos cuenta de que lo que necesitamos no es que la distancia entre$r$y$r'$es pequeña, pero que la región explorada por la mayor parte de los caminos en$\mathcal{DP}$es pequeño. Esto tiene sentido, ya que el problema proviene de las fases de Ahranov Bohm. No ayuda si$r$y$r'$están cerca si nos interponemos entre ellos viajando por caminos tortuosos que son enormemente sensibles a los campos de calibre. Entonces, el criterio correcto es si el flujo magnético que atraviesa la región con caminos es mucho más pequeño que un cuanto de flujo, entonces podemos "enderezar" todos los caminos en nuestra integral de camino y simplemente escribirlo como:

$$U(r_1,r_2; A) \approx \tilde{U}(r_1,r_2)\exp(i\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!A(r')dr')$$

donde la integral se toma sobre cualquier camino en la región que elijamos. Tenga en cuenta que esta aproximación es invariante de calibre, ya que el error depende del campo magnético, y es un invariante de calibre tan simple como lo que obtenemos. Ahora, en términos de respuesta lineal, en este punto uno podría simplemente conectar un campo externo y decidir si era lo suficientemente pequeño como para ignorarlo. O uno podría simplemente hacer las paces con la línea Wilson y continuar.

Si quisiera operar de manera más general pero aún quisiera ignorar esa línea de Wilson, puede hacerlo siempre que se limite a un calibre lo suficientemente suave. Si estás en un calibre donde$A$no varía apreciablemente en el rango de$U$entonces$\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!A(r')\cdot dr' \approx A\cdot(r_2 - r_1)$. Y el punto esto es aproximadamente calibre puro: corresponde a la transformación de calibre con campo$\chi = A(r)\cdot r$. Así que esencialmente podemos ignorarlo.

Para tener un calibre suave uno debe tener

• Campos que varían lentamente
• Pequeño campo magnético.

que son requisitos físicos bastante intuitivos. Y luego, además, no debemos introducir transformaciones de calibre que varíen rápidamente. Entonces, una forma de pensar en todo esto es que podemos manipular tales expresiones invariantes aparentemente no calibradas porque en realidad hemos calibrado los modos de alta frecuencia del campo de calibre. Probablemente podría haber pensado en eso sin todo este trabajo, pero así es la vida.