¿Dos acertijos en el Grupo de Simetría Proyectiva (PSG)?

Recientemente estoy estudiando PSG y me sentí muy desconcertado por dos declaraciones que aparecieron en el artículo de Wen . Para presentar las preguntas claramente, imagina que usamos el fermión de Shwinger$\mathbf{S}_i=\frac{1}{2}f_i^\dagger\mathbf{\sigma}f_i$método de campo medio para estudiar el sistema 2D spin-1/2 y obtener un hamiltoniano de campo medio$H(\psi_i)=\sum_{ij}(\psi_i^\dagger u_{ij}\psi_j+\psi_i^T \eta_{ij}\psi_j+H.c.)+\sum_i\psi_i^\dagger h_i\psi_i$, dónde$\psi_i=(f_{i\uparrow},f_{i\downarrow}^\dagger)^T$,$u_{ij}$y$\eta_{ij}$son$2\times2$matrices complejas, y$h_i$son$2\times2$Matrices hermitianas. Y la proyección al subespacio de espín se implementa mediante el operador proyectivo$P=\prod _i(2\hat{n}_i-\hat{n}_i^2)$(Nota aquí$P\neq \prod _i(1-\hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow})$). Mis preguntas son:

(1) ¿Cómo llegar a la ecuación (15)? La ecuación (15) significa que, si$\Psi$y$\widetilde{\Psi}$son los estados fundamentales de campo medio de$H(\psi_i)$y$H(\widetilde{\psi_i})$, respectivamente, entonces$P\widetilde{\Psi}\propto P\Psi$, dónde$\widetilde{\psi_i}=G_i\psi_i,G_i\in SU(2)$. ¿Cómo probar esta afirmación?

(2) El enunciado de la simetría de traslación anterior a la ecuación (16), que se puede formular de la siguiente manera: Sea$D:\psi_i\rightarrow \psi_{i+a}$ser el operador de traducción unitario ($a$es el vector de red). Si existe un$SU(2)$transformación$\psi_i\rightarrow\widetilde{\psi_i}=G_i\psi_i,G_i\in SU(2)$ tal que $DH(\psi_i)D^{-1}=H(\widetilde{\psi_i})$, entonces el estado de espín proyectado$P\Psi$tiene simetría de traslación$D(P\Psi)\propto P\Psi$, dónde$\Psi$es el estado fundamental de campo medio de$H(\psi_i)$. ¿Cómo probar esta afirmación?

He estado luchando con los dos acertijos anteriores durante varios días y todavía no puedo entenderlos. Estaré muy agradecido por su respuesta, muchas gracias.