¿El estado de espín proyectado del hamiltoniano de campo medio d+idd+idd+id en una red triangular tiene simetría de inversión de tiempo (TR)?

Considera lo siguiente$d+id$hamiltoniano de campo medio para un modelo de spin-1/2 en una red triangular

$$H=\sum_{<ij>}(\psi_i^\dagger\chi_{ij}\psi_j+H.c.)$$ , con $\chi_{ij}=\begin{pmatrix} 0 & \Delta_{ij}\\ \Delta_{ij}^* & 0 \end{pmatrix}$, espinones fermiónicos $\psi_i=\binom{f_{i\uparrow}}{f_{i\downarrow}^\dagger}$, y los parámetros de campo medio $\Delta_{ij}=\Delta_{ji}$definidos en enlaces tienen las mismas magnitudes y sus fases difieren por $\frac{2\pi}{3}$entre sí refiriéndose a las tres direcciones de enlace.

Mi pregunta es, ¿el estado de giro proyectado$\Psi=P\phi$tiene la simetría TR? Dónde$\phi$es el estado fundamental de campo medio de$H$, y$P$elimina los estados no físicos con sitios vacíos o doblemente ocupados.

Observe que desde el punto de vista del bucle de Wilson , puede comprobar que los bucles de Wilson $W_l=tr(\chi_{12}\chi_{23}\chi_{31})=0$en cada plaqueta triangular, por lo que todos los bucles de Wilson son invariantes bajo la transformación TR$W_l\rightarrow W_l^*=W_l$. Por lo tanto, la simetría TR debe mantenerse.

Por otra parte, desde el punto de vista de$SU(2)$transformación de calibre, si existe$SU(2)$matrices$G_i$tal que$\chi_{ij}\rightarrow\chi_{ij}^*=G_i\chi_{ij}G_j^\dagger$, entonces el estado de espín proyectado$\Psi$es TR invariante. Pero hasta ahora, no puedo encontrar esos$SU(2)$matrices$G_i$. Entonces, ¿alguien puede resolver la forma explícita de esos$SU(2)$matrices$G_i$? ¿O no existen en absoluto?

Gracias de antemano.

Por cierto, creo que sería incómodo escribir explícitamente la forma de estado$\Psi$para comprobar la simetría TR.