Invariancia de la medida de integración funcional

Question

Invariancia de la medida de integración funcional

laico

Consideremos la integral funcional:

\int D A {mi}^{i S [A]}

$\begin{equation} \int \mathcal{D} A e^{iS[A]} \end{equation}$ dónde

S [A]

$S[A]$ es la acción para

U (1)

$U(1)$ campo de medida y

D A \equiv D A_{0} D A_{1} D A_{2} D A_{3}; D A_{i} = \prod_{X} d A_{i} (X) .

$\begin{equation} \mathcal{D}A\equiv \mathcal{D}A_0 \mathcal{D}A_1 \mathcal{D}A_2 \mathcal{D}A_3; \\ \mathcal{D}A_i = \prod_x dA_i(x). \end{equation}$

Ahora tengo dos preguntas:

1. Cómo demostrar que la medida de integración $\mathcal{D} A$ es invariante bajo la transformación de norma:

A_{m} (X) \to A_{m} (X) + \frac{1}{mi} \partial_{m} α (X)

$\begin{equation} A_\mu (x) \to A_\mu (x) + \frac{1}{e}\partial_\mu \alpha(x) \end{equation}$ 2. Cómo demostrar que la medida de integración $\mathcal{D} A$ es invariante bajo la transformación de Lorentz?

Voluntad

Sugerencias: 1.

α (x)

$\alpha(x)$ es una función establecida, no se modifica como

A_{μ} (x)

$A_\mu(x)$ es. 2. ¿Cómo cambia una medida bajo un cambio de coordenadas en integración regular?

joshfísica

¿La respuesta a esto no depende del regulador? En particular, ¿no se podría inventar un regulador terrible que hiciera que la medida de integración no fuera invariable en cuanto al calibre?

bebop pero inestable

@joshphysics: ciertamente puede romper las simetrías con un regulador no covariante, pero se supone casi universalmente que uno está usando un regulador covariante de calibre, ya que las consecuencias de la no covarianza del calibre son tan graves.

laico

@Will: ¿Puedes elaborar la pista para la pregunta no. 2 ?

Voluntad

Las transformaciones de Lorentz toman

A_{μ} \to A_{ν}^{'} = Λ_{ν}^{μ} A_{μ}

$A_\mu \rightarrow A^\prime_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{\mu}A_{\mu}$ , ¿Correcto? Ahora, considera el proceso por el que pasas cuando cambias de coordenadas en la integración regular de varias variables. Espero que esto ayude :)

laico

@Will: En ese caso, el jacobiano de la transformación de coordenadas, det

(Λ_{ν}^{μ})

$(\Lambda^\mu_\nu)$ estarán

\pm 1

$\pm 1$ .

Respuestas (1)

Invariancia de la medida de integración funcional

Sugerencias: 1. $\alpha(x)$ es una función establecida, no se modifica como $A_\mu(x)$ es. 2. ¿Cómo cambia una medida bajo un cambio de coordenadas en integración regular?
¿La respuesta a esto no depende del regulador? En particular, ¿no se podría inventar un regulador terrible que hiciera que la medida de integración no fuera invariable en cuanto al calibre?
@joshphysics: ciertamente puede romper las simetrías con un regulador no covariante, pero se supone casi universalmente que uno está usando un regulador covariante de calibre, ya que las consecuencias de la no covarianza del calibre son tan graves.
Las transformaciones de Lorentz toman $A_\mu \rightarrow A^\prime_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{\mu}A_{\mu}$ , ¿Correcto? Ahora, considera el proceso por el que pasas cuando cambias de coordenadas en la integración regular de varias variables. Espero que esto ayude :)
@Will: En ese caso, el jacobiano de la transformación de coordenadas, det $(\Lambda^\mu_\nu)$ estarán $\pm 1$ .

jamals · Answer 1

En la teoría cuántica de campos, cuando manipulamos la integral de trayectoria, asumimos ingenuamente que las medidas (o estrictamente hablando, el producto de las medidas y el integrando) son invariantes bajo las transformaciones de norma. En un artículo fundamental, Fujikawa demostró la falla de esta suposición (en ciertos casos) y cómo calcular rigurosamente el análogo de un factor jacobiano para la integral de trayectoria, que empleó para derivar la anomalía quiral de la electrodinámica cuántica. Para una derivación completa, recomiendo las fuentes:

Introducción a la Teoría Cuántica de Campos , por Peskin y Schroeder, Capítulo 19, pág. 651+
Más allá del modelo estándar, Conferencia 5 (13/14, Curso del Prof. R. Mann), Perimeter Institute

Espero que estos puedan proporcionar alguna aclaración con respecto al cambio de la medida integral de ruta bajo una transformación general de los campos constituyentes.

Invariancia de la medida de integración funcional

laico

Voluntad

joshfísica

bebop pero inestable

laico

Voluntad

laico

Respuestas (1)

jamals

Ejemplos de "medir una simetría global"

La ruptura espontánea de la simetría al subespacio no da bosones sin masa

Invariancia de calibre o invariancia global, ¿cuál hace que la teoría sea renormalizable?

¿Por qué el ordenamiento normal viola la identidad de Ward?

¿Por qué las teorías de calibre tienen tanto éxito?

¿Por qué se mantiene la identidad de Ward para las teorías de calibre?

Distinguir experimentalmente entre estados físicos topológicamente no equivalentes en la teoría de calibre

¿Cuál es el estatus ontológico de los fantasmas de Faddeev Popov?

Faddeev-Popov Haar mide la invariancia para U(1)U(1)U(1)

¿La conexión del manómetro es única?