Una intuición para la paracompactidad

Tengo una comprensión intuitiva de la compacidad basada en el espacio euclidiano, pero no tanto de la paracompactidad. Basado en el teorema de Heine-Borel, para un subconjunto S del espacio euclidiano R norte , las siguientes dos sentencias son equivalentes:

  1. S es cerrado y acotado.
  2. S es compacto

Lo que da una idea intuitiva de la compatibilidad. Apreciaría mucho si alguien diera una idea pictórica e intuitiva de paracompacidad.

Respuestas (1)

No hay una intuición fácil para la paracompacidad, me temo. Todos los espacios métricos son paracompactos, y estos pueden ser muy diferentes. Todos los espacios compactos igualmente (una subcubierta finita es trivialmente un refinamiento localmente finito).

La propiedad fue introducida por primera vez por Tukey bajo el nombre de "totalmente normal" y solo más tarde se descubrió que existen otras propiedades de cobertura (propiedades de la forma "cada (bla) cubierta de X tiene un refinamiento (bla2) (o refinamiento en estrella o subcubierta), para diferentes "valores" de bla/bla2)) eran mutuamente equivalentes o tenían un comportamiento interesante con respecto a productos/subespacios, etc. y la paracompactidad surgió como la más interesante o "natural" variante de tales propiedades. Dieudonné fue el primero en utilizar la formulación de refinamiento localmente finito de la definición. Luego se encontró que había buenos teoremas que estaban conectados con espacios uniformes y el problema general de metrizabilidad de un espacio en el que también se usaban nociones muy relacionadas con la paracompacidad. Realmente despegó como propiedad popular cuando se comprobó que para que toda cubierta abierta tenga un tabique de unidad subordinado a ella, se necesita que el espacio sea paracompacto (bajo suposiciones suaves) y estos servían para “pegarse”. funciones locales en variedades (donde podemos usar cubiertas de gráficos de coordenadas) a funciones globales (para integración, por ejemplo). Así, se convirtió en una condición popular en la teoría de variedades. Para las variedades euclidianas, la paracompactidad es equivalente a ser metrizable (globalmente).

Espero que esto ayude un poco como motivación.

Bien explicado. Muchas gracias.
@AliPedram Me alegro de que haya ayudado un poco.
Gran resumen de la noción y sus ramificaciones. Un punto menor. Según en.wikipedia.org/wiki/Paracompact_space , parece que Tukey (1940) introdujo "totalmente normal" y Dieudonne introdujo "paracompact" en 1944.
@PatrickR Creo que tienes razón. Tukey vino de la teoría de espacios uniformes donde los refinamientos de estrellas eran importantes. Para Tukey fue fácil probar que todos los espacios métricos son totalmente normales. Para los espacios métricos y la definición paracompacta esto no estaba del todo claro. Mary Ellen Rudin demostró por primera vez que los espacios métricos eran realmente paracompactos. Más tarde se demostró que las nociones eran equivalentes después de todo, dando otra prueba. Editaré para Tukey, gracias.
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