Espacios de adjunción de segundos espacios de Hausdorff contables, localmente compactos

No. Deja$Y=\{0\}\cup\{1/n: n\in\Bbb N\}$ser una secuencia convergente a cero,$X=Y\times\Bbb N$,$Z=\{0\}\times\Bbb N$, y$f:Z\to Y$,$(0,n)\mapsto 1/n$. Es fácil ver que el espacio$X \sqcup_f Y$es homeomorfo al siguiente espacio de Franklin descrito en el siguiente ejemplo de "Topología general" de Ryszard Engelking (Heldermann Verlag, Berlín, 1989).

Además, deja$q: X \sqcup Y\to X \sqcup_f Y$sea ​​el mapa del cociente. Es fácil ver que cualquier barrio de$q(0)$es$X \sqcup_f Y$contiene una secuencia de una forma$\{q(n, m_n):n\ge N\}$para algunos$N$, que no tiene puntos límite, por lo que$X \sqcup_f Y$no es localmente compacto.

(Para simplificar, identifico$X$y$Y$con sus imágenes canónicas en$X\sqcup_f Y$).

Segunda contabilidad: Sea$\{U_i\}_{i\in\Bbb N}$Sea una base contable de$X$. Para cada$i$,$U_i\cap Z$está abierto en$Z$, de ahí su imagen bajo$f$está abierto en$f(Z)$, es decir, existe$U_i'$abrir en$Y$tal que$f(U_i\cap Z)=U_i'\cap f(Z)$. Juntos,$U_i$y$U_i'$formar un conjunto abierto$U''_i\subseteq X\sqcup_f$tal que$U_i''\cap Z/f=Z/f$. Asimismo, a partir de una base contable$\{V_i\}_{i\in\Bbb N}$, encontramos$V_i'$abrir en$X$tal que$f(V_i'\cap Z)=V_i\cap f(Z)$y con eso$V''_i$. Entonces los siguientes juntos forman una base contable de$X\sqcup_f Y$:

• todo$U_i\setminus Z$
• todo$V_i\setminus f(Z)$
• todo$(U''_i\cap V''_j)$

Para ver esto, considere cualquier abierto$W$en$X\sqcup_f Y$. Entonces$W\cap X=\bigcup_{i\in I} U_i$y$W\cap Y=\bigcup_{j\in J}V_j$para subconjuntos adecuados$I,J\subseteq \Bbb N$. Ahora verifica que

$$W=\bigcup _{i\in I}(U_i\setminus Z)\cup \bigcup _{j\in J}(V_j\setminus f(Z))\cup \bigcup_{(i,j)\in I\times J}(U''_i\cap V''_j)$$