Subespacio compacto no cerrado de un espacio no hausdorff

Cualquier topología con un número finito de conjuntos abiertos debe tener la propiedad de que todos los conjuntos son compactos, simplemente porque cualquier cubierta abierta ya es finita.

He aquí un ejemplo mucho menos trivial:

Dejar$(\mathbb R,\tau)$sean los números reales con la topología co-finita, es decir, un conjunto es cerrado si y solo si es finito; y un conjunto es abierto si y solo si su complemento es finito.

Considere los números naturales como un subconjunto de la línea real, este es un conjunto infinito, pero claramente no es co-finito, por lo que no es ni abierto ni cerrado. Suponer que$\{U_i\mid i\in I\}$es una cubierta abierta de$\mathbb N$. hay algo$i_0\in I$tal que$0\in U_{i_0}$, y desde$U_{i_0}$es abierto significa que contiene todo excepto un número finito de puntos, en particular debe contener todos los números naturales, excepto tal vez un número finito de ellos. Para cada$n\in\mathbb N\setminus U_i$podemos encontrar algunos$U_{i_n}$. Encontramos, por lo tanto, una subcubierta finita de esta cubierta abierta, y así$\mathbb N$es compacto

Ejercicio: Demuestre que, de hecho, todo conjunto de números reales es compacto en esta topología.

Aquí hay algunos ejemplos que funcionan muy bien.

1. La topología indiscreta en cualquier conjunto con más de un punto: cada subconjunto propio no vacío es compacto pero no cerrado. (La topología indiscreta no es buena para mucho, pero como dijo Qiaochu en los comentarios, es un buen ejemplo simple cuando realmente funciona).

2. En la recta con dos orígenes , el conjunto$[-1,0)\cup\{a\}\cup(0,1]$es compacto pero no cerrado:$b$está en su cierre.

3. El conjunto$\{1\}$en el espacio de Sierpiński es compacto pero no cerrado.

4. Para cada$n\in\Bbb N$dejar$V_n=\{k\in\Bbb N:k<n\}$; entonces$\{V_n:n\in\Bbb N\}\cup\{\Bbb N\}$es una topología sobre$\Bbb N$, en el que todo conjunto finito no vacío es compacto por no cerrado.

5. Dejar$\tau$sea ​​la topología cofinita en un conjunto infinito$X$. Entonces cada subconjunto de$X$es compacto, pero los únicos subconjuntos cerrados son$X$y los subconjuntos finitos de$X$.

En términos de los axiomas comunes de separación: (1) ni siquiera es$T_0$; (2) y (5) son$T_1$; y (3) y (4) son$T_0$pero no$T_1$.

Dado que el ejemplo de Qiaochu es casi demasiado trivial para dar mucha intuición, aquí hay otro buen ejemplo para pensar.

Toma la recta real menos el origen. Ahora tome una unión disjunta con 2 puntos y declare que los vecindarios de ambos puntos son exactamente los vecindarios del origen. Este espacio topológico debe considerarse como "la línea real con 2 orígenes". Definitivamente no es Hausdorff.

ahora toma$x \in \mathbb{R} - \{0\}$y considera el subespacio$[-x, 0) \cup (0, x] \cup *$, dónde$*$es uno de los orígenes.

Este es un subespacio compacto porque es básicamente el espacio$[-x,x] \subseteq \mathbb{R}$, pero no es cerrado (el otro origen está aislado en el complemento).

Como señala Qiaochu, el ejemplo más fácil es tomar la topología indiscreta en cualquier conjunto con al menos dos elementos. Cualquier espacio indiscreto se compacta automáticamente, y cualquier subespacio de un espacio indiscreto vuelve a ser indiscreto.

Por supuesto, en cierto sentido los espacios indiscretos son demasiado triviales. Así que aquí hay una gran familia de$T_0$(de hecho, sobrio) ejemplos. Dejar$A$Sea un anillo conmutativo. El espectro principal de$A$es el espacio topológico$\operatorname{Spec} A$cuyos puntos son los ideales primos de$A$, y los subconjuntos abiertos de$\operatorname{Spec} A$son los de la forma

$$D(I) = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A : I \nsubseteq \mathfrak{p} \}$$ dónde $I$es cualquier ideal de $A$. Se puede demostrar que cualquier subconjunto abierto de la forma $D((f))$para cualquier elemento $f$en $A$es compacto, y en general $D((f))$también será no cerrado. por ejemplo, para $A = \mathbb{Z}$, el espectro primo consta de los puntos $$\{ (p) : p \text{ is a prime number} \} \cup \{ (0) \}$$ y los subconjuntos abiertos no vacíos son aquellos que contienen todos menos un número finito de los ideales $(p)$. Esta es casi la topología cofinita, pero $(0)$no es un punto cerrado en $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$. Es sencillo verificar que todos los subconjuntos abiertos no vacíos de $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$son compactos y densos.

Incluso podemos encontrar$T_1$ejemplos: como se insinuó anteriormente, cualquier conjunto infinito con la topología cofinita tendrá la propiedad de que todos sus subconjuntos abiertos no vacíos son compactos y densos. Otra fuente de$T_1$ejemplos es la geometría algebraica clásica: si$k$es cualquier campo algebraicamente cerrado, entonces$\mathbb{A}^n (k)$es el espacio topológico cuyos puntos son$n$-tuplas de elementos de$k$, y los subconjuntos abiertos de$\mathbb{A}^n (k)$son los de la forma

$$D(I) = \{ (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{A}^n (k) : \forall f \in I . f (a_1, \ldots, a_n) \ne 0 \}$$ dónde $I$es cualquier ideal del anillo polinomial $k[x_1, \ldots, x_n]$. Nuevamente, se puede demostrar que cualquier subconjunto abierto no vacío de la forma $D((f))$para cualquier polinomio $f$es compacto y denso en $\mathbb{A}^n (k)$.

Hay un meta-ejemplo: dado un espacio compacto (o cualquier espacio, en realidad)$X$, podemos encontrar una incrustación$X\subsetneq X'$tal que$X$es abierto denso en$X'$, y si$X$es$T_1$y tiene al menos dos puntos, podemos elegir$X'$como tal.

Esto es bastante simple: solo tome un punto$y\notin X$y deja$X'=X\cup \{y\}$con topología dada por la unión de la topología en$X$y la totalidad de$X'$, de modo que los puntos de$X$tienen los mismos barrios que en$X$, además de$X'$, mientras$y$tiene un solo barrio que es$X'$.

El ejemplo anterior no es$T_1$, pero se puede aumentar fácilmente a tal si$X$es$T_1$y tiene al menos dos puntos: solo agregue a la topología en$X'$para cualquier abierto$A\subseteq X$el conjunto$A'=A\cup \{y\}$. Entonces claramente los testigos de$T_1$-ness de$X$proporcionará testigos para$T_1$-ness de$X'$.