¿Cómo verificar la propiedad universal al construir la compactación de Stone-Čech?

Entonces vemos$X$como un homeomorfo de$e_X[X]$dónde$e_X: X \to C:= [0,1]^{C(X,I)}$(definido por$\pi_f \circ e_X = f$para todos$f \in C(X,I)$) es la incrustación canónica del espacio de Tychonoff$X$en el cubo y$\beta X$se define entonces como su cierre$\overline{e_X[X]}^{(C)}$en ese cubo.

Ahora si$K$es cualquier espacio compacto de Hausdorff podemos, de la misma manera, verlo como un subespacio de un cubo$C' = [0,1]^{C(K,I)}$a través de su propia incrustación$e_K$. Dado$f: X \to K$queremos extender$f$a$\beta f : \beta X \to K$de modo que$\beta f \circ e_X = f$en$X$. Para cada$f' \in C(K,I)$tenemos eso$f' \circ f \in C(X,I)$y asi esto$f' \circ f$es una "coordenada" del cubo$C$y así podemos definir un mapa$F: C \to C'$por$\pi_{f'} \circ F = \pi_{f' \circ f}$y esto es determinado de forma única y continua (por hechos estándar en mapas de productos; esto$F$es el "producto" del que habla Wikipedia). Entonces es estándar verificar que$e_X[X]$(y así también su cierre, por continuidad) se mapea en$e_K[K]\simeq K$por esto$F$y así podemos usar$(e_K)^{-1} \circ F\restriction_{\beta(X)}$como la extensión prometida$\beta X \to K$.