Obtener un autohomeomorfismo del cilindro a partir de un autohomeomorfismo del círculo

Esto es posible. Dejar$e:\mathbb{R}\to S^1$ser el mapa de cobertura$e(s)=\exp(2\pi i s)$. Entonces podemos levantar$f$a un mapa$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$tal que$eg=fe$. La suposición de que$f$es un homeomorfismo que conserva la orientación implica que$g$es estrictamente creciente con$g(s+1)=g(s)+1$para todos$s$. Ahora obtenemos$F$simplemente interpolando linealmente entre$g$y la identidad. Es decir, definimos

$$F(e(s),t)=(e(ts+(1-t)g(s)),t).$$ Es fácil comprobar que se trata de un homeomorfismo; el punto clave es que para cualquier $t$, $h_t(s)=ts+(1-t)g(s)$es de nuevo un mapa estrictamente creciente con $h_t(s+1)=h_t(s)$.

Si$f$no era solo un homeomorfismo sino un difeomorfismo, entonces$g$será un difeomorfismo (al igual que todos los mapas$h_t$), y se sigue fácilmente que$F$también será un difeomorfismo.

Este es un apéndice a la respuesta de Eric Wofsey, con respecto a lo que sucede en dimensiones superiores: dado un homeomorfismo que conserva la orientación (difeomorfismos)$f: S^n\to S^n$, hay un homeomorfismo (difeomorfismo)

$$F: S^n\times I\to S^n\times I$$ tal que $F(x,0)=(f(x),0), F(x,1)=(x,1)$?

La respuesta en el establecimiento de homeomorfismos es positiva para todos$n$: Todo homeomorfismo que conserva la orientación$f: S^n\to S^n$es homotópico a la identidad y, por lo tanto (Alexander, et al, vea esta discusión de Mathoverflow ) isotópico a la identidad. esta isotopía$f_t$produce un homeomorfismo$F(x,t)=(f_t(x),t)$,$S^n\times I\to S^n\times I$.

En el contexto de los difeomorfismos, la respuesta es mucho más interesante, se trata de la cuestión de la concordancia de los difeomorfismos (que conservan la orientación).$S^n\to S^n$al mapa de identidad. El espacio de clases de concordancia forma un grupo abeliano, llamado$\Gamma^n$. Este grupo es trivial para todos.$n\le 5$y, por lo tanto, una extensión difeomorfa$F: S^n\times I\to S^n\times I$siempre existe en este rango ($n=1$es un caso muy especial). Sin embargo, por$n=6$el grupo$\Gamma^6$es no trivial y tiene orden 28. En particular, existe un difeomorfismo$f: S^6\to S^6$para el cual un difeomorfismo$F: S^6\times I\to S^6\times I$como arriba no existe.

Para otros valores de$n\ge 7$, estos grupos están bien estudiados (Kervaire-Milnor et al), véase, por ejemplo, este artículo de wikipeda .

Hay una biyección (por$n\ne 3$) entre$\Gamma^n$y el grupo$\Theta_{n+1}$de estructuras lisas en$S^{n+1}$(bajo la suma conectada). Por ejemplo, las 27 clases de concordancia en$S^6$corresponden a las 27 esferas exóticas de siete dimensiones.