¿Qué espacios se pueden utilizar como "espacios de prueba" para la compactación de Stone-Čech?

Question

¿Qué espacios se pueden utilizar como "espacios de prueba" para la compactación de Stone-Čech?

compacidad
Matemáticas
teoría de categorías
topología general

Martín Sleziak

Compactación de Stone-Čech $\beta X$ de un espacio completamente regular $X$ se define por la siguiente propiedad: Sea $X$ ser un espacio completamente regular. Dejar $i \colon X \hookrightarrow \beta X$ ser una incrustación en un espacio compacto de Hausdorff $\beta X$ . Entonces para cada aplicación continua $f\colon X \to K$ dónde $K$ es un espacio compacto de Hausdorff existe un único mapa continuo $\widehat f \colon \beta X \to K$ tal que $\widehat f \circ i =f$ . (En otras palabras, todo mapa continuo $X\to K$ tiene una extensión continua $\beta X\to K$ .)

http://presheaf.com/?d=d4l86n4i40s4n18675m3rw6cye1p

Se sabe que si requerimos que la propiedad anterior sea verdadera no para todos los espacios compactos de Hausdorff $K$ pero solo para $K=[0,1]$ , es decir, para el intervalo unitario, entonces obtenemos una definición equivalente. (Un posible argumento para demostrar esto se basa en el hecho de que cada espacio compacto de Hausdorff se incrusta en una potencia del intervalo unitario).

Mi pregunta es:

Qué (Hausdorff compacto) espacios $K$ tiene una propiedad similar al intervalo unitario, es decir, la propiedad que si requerimos que la propiedad universal de la definición de compactación de Stone-Čech se cumpla solo para este espacio $K$ , entonces obtenemos una definición equivalente? ¿Se conoce la caracterización completa?

Son estos espacios precisamente los generadores de la subcategoría reflexiva $\mathbf{CHaus}$ de la categoría $\mathbf{Top}$ ? Aquí $\mathbf{CHaus}$ denota la categoría de espacios compactos de Hausdorff, $\mathbf{Top}$ es la categoría de los espacios topológicos. Por generador de una subcategoría reflexiva entiendo un espacio tal que su casco reflexivo es precisamente esta subcategoría.

Por ejemplo, esto es cierto si tomamos el círculo unitario $S$ , simplemente porque $[0,1]$ es un subespacio cerrado de $S$ .

si tomamos $K=\{0,1\}$ con la topología discreta, entonces no podemos repetir el mismo argumento que para el intervalo unitario. (No todo espacio compacto, es un subespacio de algún poder $\{0,1\}^a$ .) Así que lo anterior probablemente no sea cierto para $K=\{0.1\}$

eric wofsey

Parece poco natural establecer su definición de la compactación de Stone-Cech en términos de espacios completamente regulares.

X

$X$ con una incrustación en

β X

$\beta X$ , en lugar de en términos de espacios arbitrarios

X

$X$ con un mapa para

β X

$\beta X$ . Si usa la última declaración, puede simplemente tomar

X = [0, 1]

$X=[0,1]$ en la primera parte de mi respuesta, y puedes dar un argumento bastante formal de que si

K

$K$ es un espacio de prueba, entonces cualquier espacio compacto de Hausdorff se integra en una potencia de

K

$K$ .

Martín Sleziak

@EricWofsey La única razón por la que agregué la condición es completamente regular fue que solo el espacio completamente regular puede tener compactación (puede estar densamente incrustado en un espacio compacto de Hausdorff). (Por ejemplo, Engelking requiere una inclusión densa en la definición de compactación y luego define

β X

$\beta X$ como la mayor compactación. Gracias por tu comentario - es bueno saber que

β X

$\beta X$ se estudia también para otros espacios (es decir, si requerimos solo un mapa continuo en lugar de incrustado).

Respuestas (1)

¿Qué espacios se pueden utilizar como "espacios de prueba" para la compactación de Stone-Čech?

Parece poco natural establecer su definición de la compactación de Stone-Cech en términos de espacios completamente regulares. $X$ con una incrustación en $\beta X$ , en lugar de en términos de espacios arbitrarios $X$ con un mapa para $\beta X$ . Si usa la última declaración, puede simplemente tomar $X=[0,1]$ en la primera parte de mi respuesta, y puedes dar un argumento bastante formal de que si $K$ es un espacio de prueba, entonces cualquier espacio compacto de Hausdorff se integra en una potencia de $K$ .
@EricWofsey La única razón por la que agregué la condición es completamente regular fue que solo el espacio completamente regular puede tener compactación (puede estar densamente incrustado en un espacio compacto de Hausdorff). (Por ejemplo, Engelking requiere una inclusión densa en la definición de compactación y luego define $\beta X$ como la mayor compactación. Gracias por tu comentario - es bueno saber que $\beta X$ se estudia también para otros espacios (es decir, si requerimos solo un mapa continuo en lugar de incrustado).

eric wofsey · Answer 1

Tales "espacios de prueba" son exactamente los espacios compactos de Hausdorff que contienen un subespacio homeomorfo a $[0,1]$ . Claramente, cualquier espacio de este tipo es un espacio de prueba; por el contrario, supongamos $[0,1]$ no se incrusta en $K$ . Entonces, de hecho, cada mapa $[0,1]\to K$ es constante, ya que cualquier espacio de Hausdorff conexo por caminos es conexo por arco . así que tomando $X$ ser cualquier espacio completamente regular conectado por caminos, cada mapa $X\to K$ es constante De ello se deduce que cualquier compactación de $X$ satisface su propiedad universal para $K$ . De este modo $K$ no es un espacio de prueba.

En cuanto a tu segunda pregunta, sí, estos son los generadores de CHaus como subcategoría reflexiva. Para cualquier espacio de prueba $K$ y cualquier espacio compacto de Hausdorff $X$ , hay una incrustación $i:X\to K^S$ para algún conjunto $S$ (esto se sigue del hecho de que $[0,1]$ incrustado en $K$ ). Además, esta incrustación se puede realizar como el ecualizador de un par de mapas $K^S\rightrightarrows K^T$ para algunos $T$ : es el ecualizador de su par cokernel $K^S\rightrightarrows Y$ , y $Y$ es de nuevo Hausdorff compacto, por lo que $Y$ incrustado en $K^T$ para algunos $T$ . Componiendo el par cokernel con la inclusión $Y\to K^T$ , obtenemos un par de mapas $K^S\rightrightarrows K^T$ cuyo ecualizador es $i$ . De este modo $X$ es generado por $K$ utilizando límites. Por el contrario, si $K$ no es un espacio de prueba, entonces es totalmente desconectado del camino, y entonces es fácil ver que la subcategoría reflexiva generada por $K$ consiste enteramente en espacios totalmente desconectados por caminos.

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