Existencia de la compactación Stone-Čech

Hay un poco de descuido desde el principio en la definición de$\mathscr{C}_X$como el conjunto de todas las compactaciones de$X$: realmente quieren decir eso$\mathscr{C}_X$es un conjunto que contiene un representante de cada clase de homeomorfismo de compactaciones de$X$. Es decir, cada miembro de$\mathscr{C}_X$es una compactación de$X$, y toda compactación de$X$es homeomorfo a exactamente un miembro de$\mathscr{C}_X$. En realidad, se necesita un poco de delicadeza teórica de conjuntos para justificar la existencia de este conjunto, pero no importa; tomaremos todo eso como leído y nos preocuparemos por la topología.

Dejar$Y=\prod\mathscr{C}_X$, y deja$\varphi:X\to Y:x\mapsto\big\langle c(x):cX\in\mathscr{C}_X\big\rangle$. Para cada$cX\in\mathscr{C}_X$,$c:X\to cX$es una incrustación, por lo que está claro que$\varphi$es una inyeccion Para mostrar que$\varphi$es continua, basta mostrar que para cada$cX\in\mathscr{C}_X$y cada conjunto abierto$U$en$cX$,$\varphi^{-1}\left[\{y\in Y:y_{cX}\in U\}\right]$está abierto en$X$, ya que conjuntos de la forma$\{y\in Y:y_{cX}\in U\}$son una subbase para la topología del producto en$Y$. Pero

que está abierto en$X$simplemente porque$cX$es una compactación de$X$.

(Aquí$c[X]=\{c(x):x\in X\}\subseteq cX$.)

Para mostrar que$\varphi$también está abierto, supongamos que$U$es un conjunto abierto en$X$. entonces

Si$cX,c'X\in\mathscr{C}_X$y$x\in X$,$c(x)\in cU$si y si$c'(x)\in c'U$, entonces$\varphi[U]=\varphi[X]\cap\{y\in Y:y_{cX}\in cU\}$, dónde$cX$es una compactación única y fija de$X$. Y$\{y\in Y:y_{cX}\in cU\}$es un conjunto abierto básico en el producto$Y$, entonces$\varphi[U]$está abierto en$\varphi[X]$. De este modo,$\varphi$mapas$x$homeomórficamente a$\varphi[X]$.

Desde$Y$es compacto,$\operatorname{cl}_Y\varphi[X]$es ciertamente una compactación de$X$; llámalo$K$. Todo lo que se necesita para terminar el argumento es mostrar que para cada$cX\in\mathscr{C}_X$hay una sobreyección continua$f:K\to cX$eso arregla$X$puntualmente (En realidad, eso último es un descuido verbal: lo que realmente quiere decir es que para cada$x\in X$,$f(\varphi(x))=c(x)$.) Simplemente podemos tomar$f$ser el mapa de proyección de$Y$al factor$cX$, restringido al subespacio$K$:$f=\pi_{cX}\upharpoonright K$. Las proyecciones son siempre continuas y$f(\varphi(x))=c(x)$por la definición de$\varphi$, así que hemos terminado:$K$es la compactación de Čech-Stone de$X$.