Intuición para la compactación de Stone-Čech mediante ultrafiltros

Como ya conoces la compactación de un punto de Alexandroff, déjame comenzar diciendo que la compactación de Stone-Cech está en el otro extremo, agregando tantos puntos en el infinito como sea posible. Para ver lo que eso podría significar, consideremos algunas otras compactaciones de$\mathbb R$, comenzando por la más familiar, la línea real extendida, obtenida al unir los dos puntos$+\infty$y$-\infty$en los dos extremos de la línea. En comparación con la compactación de Alexandroff, ahora estamos distinguiendo dos formas diferentes de "ir al infinito". Algunas secuencias que convergieron a$\infty$en la compactación de Alexandroff no convergen en la línea real extendida porque parte de la secuencia va a la izquierda y parte a la derecha (p. ej.,$(-1)^nn$).

Esta idea puede extenderse para producir compactaciones "más grandes". si visualizas$\mathbb R$como incrustado en el plano como el gráfico de la función seno y luego tomar su cierre en el plano extendido$(\mathbb R\cup\{+\infty,-\infty\})^2$, obtienes una compactación con un segmento de línea completo en$+\infty$(y otro en$-\infty$). Del mismo modo, incrustar$\mathbb R$en$3$-espacio dimensional como una hélice, por$x\mapsto (x,\cos x,\sin x)$, obtenemos una compactación con círculos en los extremos. Procediendo análogamente con todas las funciones continuas acotadas$\mathbb R\to\mathbb R$(en lugar de$\cos$y$\sin$), en un espacio de muy alta dimensión (de hecho,$2^{\aleph_0}$dimensiones), se obtiene una de las construcciones estándar de la compactación Stone-Cech de$\mathbb R$. En términos generales, separa, en diferentes puntos en el infinito, todas las posibles "vías para ir a$\infty$" en$\mathbb R$.

La historia análoga funciona para espacios discretos.$X$en lugar de$\mathbb R$(excepto que no necesito decir "continuo" porque todas las funciones en un espacio discreto son continuas). Un punto en el resto de Stone-Cech de un espacio discreto$X$debe pensarse como un "camino a seguir para$\infty$" en$X$. Pero, ¿cómo pueden describirse tales "maneras"?

Bueno, en cualquier compactación, cada punto$p$en el infinito está en el cierre del espacio original$X$, por lo que podemos describir su ubicación en relación con$X$por el rastro en$X$de su filtro de vecindad, es decir, por$\mathcal F=\{U\cap X: p\in\text{interior}(U)\}$(dónde$U$se refiere a subconjuntos de la compactación). Tenga en cuenta que$\mathcal F$no puede contener ningún subconjunto finito de$X$, porque tales subconjuntos son cerrados en la compactación (como en cualquier$T_1$espacio) y, por lo tanto, desunidos de los vecindarios adecuados de cualquier punto$p$en el infinito

Para la compactación Stone-Cech de un espacio discreto$X$, este filtro$\mathcal F$debe tener una propiedad adicional, a saber, que no podemos tener dos subconjuntos disjuntos$A,B$de$X$ambos cumpliendo todos los conjuntos en$\mathcal F$. La razón es que entonces "ir al infinito" en$A$y en$B$serían dos caminos diferentes para ir al infinito, ambos conduciendo al mismo punto$p$.

Esta propiedad adicional del filtro$\mathcal F$es equivalente a decir que$\mathcal F$es un ultrafiltro. Así es como los ultrafiltros entran en el cuadro de las compactaciones de Stone-Cech de espacios discretos.

Entonces uno continúa ordinariamente diciendo que, (1) dado que el filtro$\mathcal F$asociado con cualquier$p$en el infinito es un ultrafiltro, y diferente$p$deben corresponder a diferentes ultrafiltros (para que la compactación sea Hausdorff), también podríamos identificar los puntos$p$con los ultrafiltros$\mathcal F$, y (2) en aras de la uniformidad, también podríamos identificar los principales ultrafiltros (que aún no se han utilizado) con los puntos de$X$. Con estas convenciones, uno puede probar (usando compacidad) que cada ultrafiltro en$X$se identifica con un punto en la compactación Stone-Cech de$X$. Así la compactación de Stone-Cech de un espacio discreto se puede identificar con el conjunto de ultrafiltros en$X$. Finalmente, uno debe verificar que la topología sea necesariamente la que describió.

Si tenemos un espacio$S$entonces uno puede mostrar (es clásico) que$S$es compacto si cada ultrafiltro en$S$tiene un límite en$S$.

Entonces, para un espacio discreto infinito (que no tiene límites de ultrafiltro, excepto los ultrafiltros fijos) necesitamos agregar un punto para que sea un límite para cada ultrafiltro, y$\beta(S)$será la compactación máxima, por lo que añadimos un punto diferente para cada ultrafiltro (la compactación de un punto añade un solo punto para todos ellos).