Una integral en la Teoría Cuántica de Campos de Peskin Pág. 27

En esos párrafos, P&S quiere obtener el comportamiento de la amplitud$D(x-y)$en el limite$r \to \infty$. A partir de la integral

$$\tag{1} \label{int} \frac{-i}{2(2\pi)^2 r} \int_{-\infty}^\infty \text{d}p \frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2 +m^2}},$$ se puede ver que un límite para $r \to \infty$no está bien definida, ya que la exponencial tiene un comportamiento oscilante. Además, la forma final de la integral puede reconocerse como una función de Bessel modificada del segundo tipo . Vea esta página de Wikipedia para la expansión asintótica de esta función. La modificación del contorno de integración es una forma de obtener una integral más sencilla. Espero que esto responda a su pregunta 1.

Sobre el punto 2., para evaluar esta integral, P&S aplica el teorema de Cauchy definiendo el integrando en función de la variable compleja$p$. La raíz cuadrada en el denominador provoca el corte de la rama en la Figura 2.3. Al reescribir la integral de contorno como

$$\tag{2} \label{1} \int_{i \infty}^{i m} \dots + \int_{i m}^{i \infty} \dots$$ hay que tener cuidado al escribir los integrandos, ya que el corte de rama genera una discontinuidad entre los dos lados del corte. De hecho, la raíz cuadrada en el plano complejo es una función multivaluada, y el argumento de $p^2+m^2$turnos de $2\pi$al pasar por la derecha de la rama cortada a la izquierda . De este modo $$\sqrt{p^2 + m^2} = \cases{|p^2+m^2|^{1/2} \exp\left(i\frac{\arg(p^2+m^2)}{2}\right), \\ |p^2+m^2|^{1/2} \exp\left(i\frac{\arg(p^2+m^2)+ 2\pi}{2}\right) = - |p^2+m^2|^{1/2} \exp\left(i\frac{\arg(p^2+m^2)}{2}\right),}$$ donde el primer valor está a la derecha y el segundo a la izquierda del corte de la rama. Ves que la diferencia es un signo menos.

Por lo tanto, haciendo la sustitución$p = i \rho$,$\eqref{1}$se convierte

$$i\int_\infty^m \text{d} \rho \frac{\rho e^{-r \rho}}{- \sqrt{\rho^2 - m^2}} + i\int_m^\infty \text{d} \rho \frac{\rho e^{-r \rho}}{\sqrt{\rho^2 - m^2}},$$ que finalmente da $$2i \int_m^\infty \text{d} \rho \frac{\rho e^{-r \rho}}{\sqrt{\rho^2 - m^2}}.$$ Sustituyendo esto en $\eqref{int}$usted encuentra su resultado. Tenga en cuenta que si hubiera elegido un contorno diferente, por ejemplo, el análogo del contorno "empujado" de la Figura 2.3 pero con el giro en U en $p = 0 + i 0$, no tendrías la diferencia de fase en los integrandos en las líneas $(im, 0)$y $(0, im)$, por lo que estas dos piezas se habrían cancelado entre sí (ver $\eqref{1}$) y habrías obtenido el mismo resultado con $m$como límite inferior de integración.

Solo agregaré un poco más de información sobre cómo empujar el contorno hacia arriba, ya que esto fue muy confuso para mí al principio. Podemos empujar el contorno de la integración hacia arriba, siempre que mantengamos los puntos finales fijos y no pasemos por ninguna singularidad. Esto se debe a que el teorema de Cauchy dice que la integral alrededor de cualquier ciclo cerrado que no encierra ninguna singularidad es cero. Por lo tanto, dos contornos cualesquiera con los mismos puntos finales y sin singularidades entre ellos deben dar la misma integral para que se cancelen entre sí cuando se conviertan en un contorno de bucle.

Podemos crear un contorno en forma de U que envuelva el punto fijo$p=im$y subiendo hasta el infinito, siempre que los puntos finales estén fijos en$\pm\infty$en el eje real. Esto significa que el contorno completo es el contorno en U que se muestra en Peskin y Schroesder más dos arcos gigantes en el infinito, que conectan los dos extremos superiores del contorno en U para$\pm\infty$. Sin embargo, en el límite como$r\xrightarrow{}\infty$, la parte imaginaria de$p$a lo largo de estos arcos se combinará con$ir$en el exponencial para hacer que el integrando se acerque a cero en todas partes a lo largo de estos arcos excepto en una pequeña región cerca del eje real. Sin embargo, la porción cerca del eje real donde la integral en no despreciable se vuelve muy pequeña como$r\xrightarrow{}\infty$. Por lo tanto, la contribución de los arcos es cero en este límite, y nos quedamos con el contorno en U.