Independencia de zzz y z∗z∗z^* en estados coherentes

TL;RD: Ec. (1.8.13) en la Ref. 1 es exactamente correcto: notablemente dentro de una integral, uno puede cambiar efectivamente la variable de integración$z=x+iy$y su variable conjugada compleja$\bar{z}=x-iy$por dos números complejos independientes !

Matemáticamente, ec. (1.8.13) es esencialmente el enunciado de que para un polinomio arbitrario$P:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}$la integral

$$\int_{\mathbb{C}} \!\frac{\mathrm{d}\bar{z} \wedge \mathrm{d}z}{2 \pi i}~P(z\!+\!c,\bar{z}\!+\!d)e^{-(z+c)(\bar{z}+d)}\quad\text{does not depend on}\quad c,d~\in~\mathbb{C}. \tag{1}$$ Para la definición de la integración (1) en el plano complejo, consulte, por ejemplo, esta y esta publicación Phys.SE relacionada. ecuación (1) es equivalente a $$\int_{\mathbb{R}^2} \!\frac{\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y}{\pi }~P(x\!+\!a,y\!+\!b)e^{-(x+a)^2-(y+b)^2}\quad\text{does not depend on}\quad a,b~\in~\mathbb{C}. \tag{2}$$ Aquí la relación entre las 4 constantes complejas son $$c~=~a+ib, \qquad d~=~a-ib .\tag{3}$$ Debido a la linealidad, basta probar la ec. (2) para polinomios que factoriza, es decir, polinomios de la forma$P(x\!+\!a)Q(y\!+\!b)$. Entonces la ec. (2) se reduce a demostrar que $$\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}x ~P(x\!+\!a)e^{-(x+a)^2}~=~\int_{\mathbb{R}+i{\rm Im}(a)} \!\mathrm{d}x ~P(x)e^{-x^2}\quad\text{does not depend on}\quad a~\in~\mathbb{C}. \tag{4}$$ ecuación (4) se sigue de una simple aplicación del teorema integral de Cauchy .$\Box$

Para obtener más información sobre estados coherentes, conjugación compleja e independencia de variables, consulte también, por ejemplo, esta y esta publicación relacionada con Phys.SE.

Referencias:

1. LS Brown, QFT, 1992; ecuaciones (1.8.12)-(1.8.13).