No covarianza del propagador de rango superior (del libro de texto QFT de Weinberg)

En el capítulo 6.2 de QFT Vol.1 de Weinberg , dio la forma general de las contracciones de Wick de todos los campos posibles (escalares, espinores, vectoriales, etc.), mostró

$$\Delta_{lm}(x,y)=\theta(x-y)P^{(L)}_{lm}\left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right)\Delta_+(x-y) +\theta(y-x)P^{(L)}_{lm}\left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right)\Delta_+(y-x)\tag{6.2.8}$$

dónde

$$\Delta_+(x)=\int d^3p(2p^0)^{-1}e^{ip\cdot x},$$ y $P^{(L)}_{lm}$es un polinomio covariante si su argumento es un 4-momentum on-shell (es decir, $P^{(L)}_{lm}(\sqrt{\mathbf{p^2}+m^2},\mathbf{p})$), pero puede no ser covariante para 4-momentum fuera de la cáscara.

Luego, mediante una serie de identidades matemáticas, pudo demostrar$\Delta_{mn}(x,y)$se puede escribir en una integral de 4 momentos:

$$\Delta_{lm}(x,y)=\int d^4q\frac{P^{(L)}_{lm}(q)\exp(iq\cdot (x-y))}{q^2+m^2-i\epsilon}\tag{6.2.18}$$

A partir de aquí argumentó desde el 4-momentum$q$en$(6.2.18)$no siempre está en el caparazón,$P^{(L)}_{lm}$puede no ser covariante, y a su vez la$\Delta_{mn}(x,y)$puede no ser covariante. De hecho, no es para un campo vectorial como lo que mostró inmediatamente después, y es por eso que necesitamos agregar un término no covariante en el hamiltoniano para hacer que el propagador sea covariante, etc.

Seguí los pasos que me mostró, pero se me ocurrió algo extraño cuando volví a mirar la expresión.$(6.2.8)$:$(6.2.8)$parece completamente covariante, ya que$\theta$es invariante,$\Delta_+$es invariante y se escribe en integral de 3 momentos de modo que$P^{(L)}_{lm}(-i\frac{\partial}{\partial x})\Delta_+(x-y)$debe ser covariante, sin embargo$(6.2.18)$-que se supone que es equivalente a$(6.2.8)$- no es covariante. Me pregunto si hay alguna sutileza que me perdí.

También hay otro misterio para mí: en el capítulo 3.5 (página 144), dio una prueba perturbativa de la invariancia de Lorentz basada en la serie de Dyson, la invariancia de la densidad hamiltoniana y la condición de microcausalidad, y mencionó que la invariancia de Lorentz podría verse perturbada por la razonamientos dados en el capítulo 6.2, pero la demostración en el capítulo 3.5 es completamente formal y no puedo ver exactamente cómo los razonamientos en 6.2 pueden ponerla en peligro.

(PD: Desearía haber formulado mi pregunta de una manera más independiente, pero no pude a menos que copiara algunas páginas completas de Weinberg, así que me disculpo por la vaguedad potencial de antemano)