Uso de Wick Rotation para calcular la función de generación en el espacio de Minkowski

Una rotación de Wick en el espacio-tiempo$x^{\mu}$implica a través de la transformación de Fourier una rotación de Wick en el espacio de energía-momento$p_{\mu}$. Quizás la forma más fácil de convencerse de que esto debe ser así es considerar la representación integral de Fourier

$$\delta^4(x)~=~\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4p}{(2\pi\hbar)^4}~\exp\left(\frac{ip\cdot x}{\hbar} \right)\tag{A}$$ de la distribución delta de Dirac . No puede continuarse analíticamente hasta el espaciotiempo complejizado ambiental. La región de integración real puede a lo sumo ser deformada, es decir, la$x^0$y$p_0$Las rotaciones de la mecha deben estar equilibradas. Consulte también, por ejemplo, este y este Phys.SE relacionado.

Cardy analiza cómo pasar del espacio euclidiano al espacio de Minkowski.

La rotación de Wick se puede considerar como una transformación de coordenadas$x' \rightarrow x$, donde el$x' \equiv (\tau, \vec{x}')$son las euclidianas y las$x \equiv (t,\vec{x})$son los del espacio de Minkowski (ver más abajo para una advertencia). Como se indica en la pregunta$\tau = \mathrm{i} t$.

Un covector se transforma según

$$\omega_\mu = \frac{ \partial x'^\nu }{ \partial x^\mu } \omega'_\nu.$$ Usando esta ley de transformación para el vector $p_\mu$obtenemos por $p_0$ $$p_0 = \frac{ \partial x'^\mu }{ \partial x^0 } p'_\mu = \frac{ \partial x'^0 }{ \partial x^0 } p'_0 = \frac{ \partial \tau }{ \partial t } p'_0 = \mathrm{i} p'_0 .$$

Ahora para la advertencia. Ver la transformación de Wick como una transformación de coordenadas da la siguiente métrica

$$g_{\mu\nu} = \frac{ \partial x'^\alpha }{ \partial x^\mu } \frac{ \partial x'^\beta }{ \partial x^\nu } g'_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)_{\mu\nu}$$ que en las convenciones de Cardy es el negativo de la métrica de Minkowski.