Condición de renormalización: ¿por qué el residuo del propagador debe ser 1?

Question

Condición de renormalización: ¿por qué el residuo del propagador debe ser 1?

Física
propagador
analiticidad
renormalización
teoría de la matriz s
teoría cuántica de campos

jia yiyang

En el esquema on-shell (OS), una de las condiciones de renormalización es que el propagador, digamos, una teoría escalar

\frac{1}{{pag}^{2} + {metro}^{2} - Σ ({pag}^{2}) - i ϵ}

$\frac{1}{p^2+m^2-\Sigma(p^2)-i\epsilon}$

debe tener un residuo unitario en el polo de la masa física $p^2=-m^2$ . Algunos libros de texto dicen que esto es para asegurarse de que el propagador se comporte como un propagador de campo libre cerca del polo. ¿Pero por qué?

jia yiyang

@Kostya: estaría de acuerdo en que se reducirá al propagador de campo libre si la interacción se desactiva de alguna manera, pero no puedo ver ninguna conexión entre "

p^{2} \to - m^{2}

$p^2\to-m^2$ " e "interacción desactivada"

MannyC

Es la pregunta "¿por qué se comporta como un propagador de campo libre?" o "¿por qué es importante que se comporte como un propagador de campo libre?"

Respuestas (3)

Condición de renormalización: ¿por qué el residuo del propagador debe ser 1?

@Kostya: estaría de acuerdo en que se reducirá al propagador de campo libre si la interacción se desactiva de alguna manera, pero no puedo ver ninguna conexión entre " $p^2\to-m^2$ " e "interacción desactivada"
Es la pregunta "¿por qué se comporta como un propagador de campo libre?" o "¿por qué es importante que se comporte como un propagador de campo libre?"

innisfree · Answer 1

La condición del sistema operativo que

\frac{\partial Σ}{\partial {pag}^{2}} |_{{pag}^{2} = - {metro}^{2}} = 0

$\frac{\partial\Sigma}{\partial p^2}|_{p^2=-m^2} = 0$ implica que el residuo en el propagador permanece igual a uno.

Supongamos que usamos un esquema de renormalización diferente en el que nuestros contratérminos no contienen partes finitas (por ejemplo, esquema MS). En el esquema del sistema operativo, eliminamos las partes finitas que eran logarítmicas en nuestra escala de regularización artificial. $\mu$ . En nuestra nueva elección, el propagador podría tener un residuo, digamos $R$ .

Este residuo se manifiesta de forma irritante; el campo se volverá a normalizar de tal manera que $\phi = \frac{1}{\sqrt{R}} \phi_B$ . En la fórmula LSZ, sin embargo, las líneas externas aportan factores $R$ (de la ecuación de KG cancelando los propagadores). Así que las líneas escalares externas contribuyen con un factor $\sqrt{R}$ en el esquema MS.

Entonces, si bien esta elección en el esquema del sistema operativo es algo arbitraria, es conveniente, porque las líneas escalares externas contribuyen con un factor 1.

Estoy tratando de aprender estos puntos yo mismo, así que espero que alguien pueda expandir/corregir mi respuesta cuando sea necesario ...

¿Estás diciendo que es más una conveniencia matemática? No he leído el esquema de MS, así que lo tendré en cuenta por ahora.

Siva · Answer 2

Siva

El polo corresponde a una partícula en la cáscara que va de un punto a otro. Entonces, el residuo te dice efectivamente cuántas de esas partículas se están transmitiendo. Dado que en su teoría física/renormalizada, el propagador debería corresponder a $1$ cuántico del campo renormalizado que se transmite, establece el residuo en el polo a $1$ .

jia yiyang

Pero, ¿por qué el residuo es igual (en lugar de ser simplemente proporcional) al número de partículas? ¿Puede dar un razonamiento sin referencia al caso de campo libre? En el sentido de que no quiero un razonamiento como "porque en el propagador de campo libre son iguales", ya que esto lógicamente no sería diferente al argumento del libro de texto.

Siva

Bueno, ¿y si el punto inicial y el final fueran los mismos? Entonces esperarías obtener el vev de

| ϕ * (x) ϕ (x)

$|\phi*(x) \phi(x)$ que espera que le proporcione la densidad de partículas en ese punto... y desea que una sola inserción de operador cree 1 partícula.

innisfree

Esa es una buena respuesta. Relacionado, creo, con la necesidad de añadir factores de

\sqrt{R}

$\sqrt{R}$ a líneas externas en otros esquemas.

jia yiyang

@Siva：No te entiendo muy bien, ¿no es el vev de

ϕ^{*} (x) ϕ (x)

$\phi^*(x)\phi(x)$ solo 0, ya que la densidad de partículas es 0 para el vacío? Y por "inserción de un solo operador para crear 1 partícula", ¿a qué tipo de inserción se refiere exactamente?

Siva

Si te expandes

ϕ

$\phi$ y

ϕ^{*}

$\phi^*$ En los operadores de creación y aniquilación, notará que un término sobrevivirá (y tres desaparecerán debido al orden normal). entonces tendrás

< ϕ^{*} ϕ >=< a^{†} a >= 1

$<\phi^* \phi> = <a^{\dagger}a> = 1$ . Por "inserción de operador en X", solo quiero decir que un operador de campo actúa actuando en el punto

X

$X$ .

Siva

@innisfree: Sí, creo que su respuesta muestra los aspectos de cálculo de cómo se produce esto. En una nota relacionada, parece que los autores suelen afirmar que nos gusta tener un residuo unitario para que el propagador parezca uno de "campo libre". Querer que los estados asintóticos se vean como partículas "libres" impone la normalización requerida para

⟨ ϕ^{†} ϕ ⟩

$\langle \phi^\dagger \phi \rangle$ .

qmecanico · Answer 3

Cabe destacar que el hecho de que el propagador tenga un polo en la masa física $k^2=-m_{\rm ph}^2$ es la definición misma de la masa física, es decir, no depende del esquema de renormalización, cf. por ejemplo, ref. 1. El esquema de renormalización on-shell (OS) iguala la masa renormalizada $m\equiv m_r$ y la masa fisica $m_{\rm ph}$ .
La condición de residuo unitario (en el $k^2$ variable) es estrictamente hablando solo una convención natural/conveniente en el esquema de renormalización del sistema operativo. En general, es incompatible con otros esquemas de renormalización, como, por ejemplo, el $\overline{MS}$ esquema de renormalización.

Referencias:

M. Srednicki, QFT, 2007; ec. (27.7). Un archivo PDF preliminar a la publicación está disponible aquí .

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