una inmersión inyectable entre dos colectores compactos de la misma dimensión

Desde$f$es una inmersión es un homeomorfismo local. Se sabe (y no es difícil de demostrar) que un homeomorfismo local con el mismo número de elementos distinto de cero en todas las fibras es un mapa de cobertura. Entonces demostramos que las fibras son constantes de la misma cardinalidad.

Dejar$y\in N$. Entonces$f^{-1}(\{y\} )$es finito como has dicho. Probamos que para cada$y\in N$localmente alrededor$y$el número de elementos en las fibras es constante. Dejar$y_1,\dots ,y_m$ser todos los elementos asignados a$y$y deja$U_i$ser abierto disjunto que contenga$y_i$. Probamos que existe$V$un barrio abierto de$y$tal que$f^{-1}(V)\subset\bigcup U_i:=U$. Supongamos que esto no es cierto, vamos$V_i$ser contable en base local alrededor$y$y deja$z_i\in f^{-1}(V_i)\setminus U$. Entonces$f(z_i)\rightarrow y$. Dejar$z$ser un punto de acumulación de$z_i$, entonces$f(z)=y$y por lo tanto$z=y_j$para algunos$j$. Pero eso significa para$n$suficientemente grande$z_n\in U_j\subset U$, una contradicción. Ahora disminuimos$U_i$tal que$f|U_i:U_i\rightarrow f(U_i)$es difeomorfismo ($f$es una inmersión) y dejar$V$sea ​​como en la afirmación probada. Entonces cardinalidad de fibras para$x\in V$son constantes. Por lo tanto, la cardinalidad de las fibras es la misma en el componente conectado de$x$, que se supone que es la totalidad de$N$.