El interior de una variedad con un límite es una variedad

Question

El interior de una variedad con un límite es una variedad

fady nakhla

Estoy leyendo Introducción a las variedades topológicas de Lee e intento probar la siguiente proposición:

Proposición 2.58. Si $M$ es una variedad n-dimensional con un límite, entonces $\textrm{Int} M$ es un subconjunto abierto de $M,$ que es en sí misma una variedad n-dimensional sin límite.

Donde las variedades con un límite se definen en términos de gráficos asignados a conjuntos abiertos en $\mathbb{H}^n = \mathbb{R}^{n-1} \times [0, \infty).$ Necesito probar esto sin usar la invariancia del límite (es decir, que el límite y el interior de la variedad son disjuntos).

Mi intento hasta ahora involucró la construcción de gráficos $(U_i, \varphi_i)$ esa portada $M$ y la identificación de puntos asignados a $\partial\mathbb{H}^n$ con $\partial M;$ sin embargo, no puedo usar $\textrm{Int} M = M \setminus \partial M$ sin invocar la invariancia de la frontera. Preferiría sugerencias o respuestas parciales que sugieran cómo debo proceder a pruebas completas.

fady nakhla

¿Por qué se cambió la etiqueta a geometría diferencial? Soy algo nuevo en el estudio de las variedades, pero creo que la geometría diferencial se centra en el estudio de las variedades suaves o de Riemann. Mi pregunta es sobre las variedades topológicas, entonces, ¿no es más adecuada la topología algebraica?

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El interior de una variedad con un límite es una variedad

¿Por qué se cambió la etiqueta a geometría diferencial? Soy algo nuevo en el estudio de las variedades, pero creo que la geometría diferencial se centra en el estudio de las variedades suaves o de Riemann. Mi pregunta es sobre las variedades topológicas, entonces, ¿no es más adecuada la topología algebraica?

lee mosher · Answer 1

Es difícil dar una pista sobre este problema sin revelarlo todo. Por definición, $\text{Int} M$ es el subconjunto de todos $x \in M$ para el cual existe un gráfico $(U_i,\phi_i)$ tal que $x \in U_i$ y tal que $\phi_i(U_i) \subset \mathbb R^{n-1} \times (0,\infty)$ . Esta propiedad de existencia también es válida para todo $y \in U_i$ , usando exactamente el mismo gráfico $(U_i,\phi_i)$ , y por lo tanto $U_i \subset \text{Int}(M)$ .

Oh. Demostrando así que Int M es abierto ya que todo punto tiene una vecindad abierta, y localmente euclidiano ya que cada una de esas vecindades tiene una imagen contenida en el medio espacio abierto superior. ¿Correcto?
@Lee Mosher Hola profesor en el libro de Lee, el gráfico interior solo se define para dejar $\phi_i(U_i)$ ser un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ no como semiplano, es decir $\phi_i(U_i) \subset \mathbb R^{n-1} \times (0,\infty)$ como lo hiciste aquí. Pero no importa ya que siempre podemos traducir $\phi_i(U_i)$ en semiplano ¿Correcto?

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fady nakhla

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lee mosher

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yi li

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