He estado leyendo Manifolds and Differential Geometry de Jeffrey Lee y Introducción a las variedades suaves de John Lee .
En el primer libro ( aquí , en la página 31), después de introducir la partición de la unidad, hay un ejercicio que dice:
Ejercicio 1.74. Muestre que si una función es suave en un conjunto arbitrario como se definió anteriormente, entonces tiene una extensión suave a un conjunto abierto que contiene .
Donde dice " como se definió anteriormente ", asumí que quería decir que era paracompacto, pero tal vez me perdí algo más.
En el segundo libro (marque aquí , en la página 45) está el lema de extensión para funciones suaves, y dice:
Lema 2.26 (Lema de extensión para funciones suaves). Suponer es una variedad uniforme con o sin límite, es un subconjunto cerrado y es una función suave. Para cualquier subconjunto abierto que contiene , existe una función suave tal que y .
Y después de probar el lema hay este ejercicio que me confundió mucho.
Ejercicio 2.27. Dé un contraejemplo para mostrar que la conclusión del lema de extensión puede ser falsa si A no es cerrado.
¿No implica el ejercicio 2.27 que el ejercicio 1.74 es incorrecto? ¿Son preguntas capciosas? ¿Como cuando te piden que demuestres que algo es correcto pero resulta que no es así? O, más probablemente, ¿me perdí algo en el libro de Jeffrey Lee?
No hay contradicción. El primer ejercicio le pide que demuestre que existe (al menos un) conjunto abierto que contiene sobre el que se define una extensión suave. Por otro lado, el Lema 2.26 es que para cualquier conjunto abierto , existe una extensión suave. Esta es una declaración mucho más fuerte, y por lo tanto requiere una suposición más fuerte (que está cerrado).
Entonces, un contraejemplo para el ejercicio 2.27 proporcionará un conjunto abierto en el que no existe extensión. Pero eso no descarta la posibilidad de que exista otro conjunto abierto para lo cual se sostiene el ejercicio de Jeffrey Lee.