¿El emparejamiento inducido por el producto de cuña y la integración no es degenerado en las formas de De Rham?

La dualidad de Hodge da la no degeneración del emparejamiento.

La estrella de Hodge define una dualidad en las formas de Rham, es decir, si$\alpha$es un distinto de cero$k$-forma entonces$\star \alpha$es un distinto de cero$(n-k)$-forma. La propiedad definitoria de la$\star$el operador está dado por$\beta \wedge \star \alpha = \langle \alpha, \beta \rangle \operatorname{vol}$, dónde$\operatorname{vol}$es una forma de volumen ($M$está orientado).

Editar (después de sentarse en él por un tiempo): mientras que la estrella de Hodge nos da el isomorfismo entre$\Omega^k_{\mathrm{dR}}(M)$y$\Omega^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M)$(que es lo que se explica arriba), no creo que nos dé un isomorfismo de$\Omega^k_{\mathrm{dR}}(M)$con el doble de$\Omega^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M)$, como$\Omega^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M)$es de infinitas dimensiones. Entonces tenías razón en el comentario, el hecho de que$\star \star= (-1)^{k(n-k)}$sólo garantiza el isomomorfismo mencionado anteriormente.

En realidad, la respuesta es casi sí en el nivel de las formas mismas. Ha proporcionado un producto interno en$\Omega^k(M)$, y una vez que se pasa a su terminación del espacio de Hilbert (el llamado espacio de$L^2$formas) es cierto, por el teorema de representación de Riesz, que cualquier función lineal continua$\Omega^k_{L^2}(M) \to \Bbb R$está representado únicamente por$\alpha \mapsto \langle \alpha, \beta \rangle$; es decir, está representado únicamente por la integración contra$*\beta$; es decir, está representado únicamente por la integración contra un$(n-k)$-forma. (Un$L^2$forma, para ser más cuidadoso.) Para ser más precisos aún, el mapa$\Omega^k_{L^2}(M) \to \left(\Omega^k_{L^2}\right)^*$, dada por$\alpha \mapsto \langle \cdot,\alpha\rangle$es una isometría.

El problema con el ejemplo que diste,$f \mapsto f(0)$, es que no es continua en el$L^2$-topología, por lo que definitivamente no debe esperar que se dé por integración contra ningún tipo de forma. Pero dado un$L^2$-continuo funcional$\Omega^k(M) \to \Bbb R$, sabes que está dada por la integración contra una$(n-k)$-forma- pero sólo necesariamente una$L^2$uno, como un artefacto de la incompletitud de$\Omega^k(M)$.