Pregunta sobre funciones medibles de Borel y álgebras Sigma de Borel.

En una tarea, se nos ha dado la siguiente configuración: Deje F : A → R ¯ sea ​​una función borel medible. probar que si F es Borel medible y B es un conjunto de Borel, entonces F − 1 ( B ) es un conjunto de Borel.

La definición de Mensurabilidad de Borel que nos dieron es la siguiente: "Una función F : R → R se dice que es Borel medible siempre que su dominio A ⊆ R sea un conjunto de Borel y para cada c, el conjunto { X ∈ A : F ( X ) < C } es un conjunto de Borel.

No nos dieron ninguna descripción de dónde vive este conjunto, supongo B ⊂ R pero esto puede ser incorrecto. Me imagino que necesitamos mostrar que el conjunto { B ⊂ R : F − 1 ( B ) es un conjunto de Borel} es un álgebra sigma, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Sé que es un poco tonto porque todo lo que necesita hacer es verificar que se cumplan las definiciones de un álgebra sigma, pero mostrar esas cosas está resultando más difícil de lo que esperaba. También podemos usar el hecho de que las funciones medibles de borel son medibles de Lebesgue. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Esta es una pregunta EXCELENTE
No entiendo, esa es la definición de una función medible de Borel, que para cada conjunto de Borel B , F − 1 ( B ) es un conjunto de Borel. No hay nada que probar.
@ Math1000, la definición que nos dieron fue la siguiente, editaré la pregunta para que quede más clara. "Se dice que una función f : R → R es Borel medible siempre que su dominio A ⊆ R sea un conjunto Borel y para cada c, el conjunto {x ∈ A : f (x) < c} es un conjunto Borel".

Respuestas (2)

Tenga en cuenta que para b ∈ R

F − 1 ( ( − ∞ , b ] ) = A ∖ F − 1 ( b , + ∞ ) que es un conjunto de Borel.

La familia de conjuntos de la forma ( − ∞ , b ] con el conjunto vacío, genere el álgebra sigma de Borel.

Así que si muestras eso A = { B ⊆ R : F − 1 ( B ) es Borel } es un álgebra sigma, entonces ya ha terminado, ya que este álgebra sigma contiene los conjuntos de la forma ( − ∞ , b ] y el conjunto vacío, por lo que contendrá el álgebra sigma de Borel por definición.

Para mostrar que A es álgebra sigma, solo use el hecho de que la imagen inversa de una unión es la unión de las imágenes inversas y

si B ⊆ R entonces F − 1 ( B C ) = A ∖ F − 1 ( B )

¡¡Gracias!! lo aprecio mucho

el borel σ -álgebra de algún espacio topológico A se define como el más pequeño σ -álgebra que contiene todos los conjuntos abiertos de A .

Cuando decimos que una función F : A → R ¯ es Borel medible estamos asumiendo la topología estándar en R ¯ y eso si C ⊂ R ¯ es un conjunto de Borel entonces F − 1 ( C ) es Borel en el Borel inducido σ -álgebra de A .

Por las propiedades de F − 1 Con respecto a las operaciones con conjuntos, se puede demostrar que es suficiente decir que F − 1 ( C ) ¿Está Borel en A para cualquier C de la forma [ − ∞ , a ) , como generalmente se explica en cualquier libro de texto de análisis que cubre una introducción a la teoría de integración de Lebesgue.

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