Está f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definido por f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -¿mensurable?

Question

Está f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definido por f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -¿mensurable?

conjuntos de borel
Matemáticas
análisis real
teoría de la medida

Céline Harumi

Es $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definido por $f(x,y)=xy$ una función medible de Borel?

Bosquejo: prueba simple

Por definición de Borel sigma-álgebra , $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ es generado por el conjunto de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^2$ . Por lo tanto, es el sigma-álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^2$ .

Uno puede demostrar que $f: (\mathbb{R}^2,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ es medible si y si $\forall c\in\mathbb{R}, \{(x,y):f(x,y)<c\}\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ .

Desde $f$ es continuo, $\{f^{-1}(-\infty,c)\}$ está abierto y por lo tanto debe estar en $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ .

¿Ves algo malo en este argumento?

diracdeltafunk

De hecho, toda función continua

R^{n} \to R^{m}

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es Borel-medible. Esto se debe a que el Borel

σ

$\sigma$ -álgebra es igual (quizás por definición, aunque esto depende de tus definiciones) al

σ

$\sigma$ -álgebra generada por topología del espacio.

Céline Harumi

@diracdeltafunk Mi problema es definir

B_{R^{2}}

$\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ . El sigma-álgebra de Borel en

R^{2}

$R^2$ contiene todos los conjuntos abiertos en

R^{2}

$R^2$ ? Si es así, la continuidad de

f

$f$ hace el trabajo.

diracdeltafunk

¿Cuál es tu definición de Borel?

σ

$\sigma$ -¿álgebra?

Céline Harumi

@diracdeltafunk Le di una definición en mi boceto. ¿Puedes comprobar si eso tiene sentido?

diracdeltafunk

Tu boceto me parece bien, y la definición que diste es (según mi experiencia) la más común. Una pequeña nota: deberías decir

f^{- 1} (- \infty, c)

$f^{-1}(-\infty, c)$ en lugar de

{f^{- 1} (- \infty, c)}

$\{f^{-1}(-\infty,c)\}$ .

Céline Harumi

@diracdeltafunk gracias por los comentarios.

Respuestas (2)

Está f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definido por f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -¿mensurable?

De hecho, toda función continua $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es Borel-medible. Esto se debe a que el Borel $\sigma$ -álgebra es igual (quizás por definición, aunque esto depende de tus definiciones) al $\sigma$ -álgebra generada por topología del espacio.
@diracdeltafunk Mi problema es definir $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ . El sigma-álgebra de Borel en $R^2$ contiene todos los conjuntos abiertos en $R^2$ ? Si es así, la continuidad de $f$ hace el trabajo.
@diracdeltafunk Le di una definición en mi boceto. ¿Puedes comprobar si eso tiene sentido?
Tu boceto me parece bien, y la definición que diste es (según mi experiencia) la más común. Una pequeña nota: deberías decir $f^{-1}(-\infty, c)$ en lugar de $\{f^{-1}(-\infty,c)\}$ .

Médico que · Answer 1

Sí. Esto se debe a que cada función continua es automáticamente medible por Borel.

Prueba: Deja $(X, \tau)$ y $(Y, \pi)$ ser espacios topológicos, y considerar continuos $f : X \to Y$ . Dejar $B_Y$ ser el Borel $\sigma$ -álgebra en $(Y, \pi)$ , de manera similar para $B_X$ .

Definir $W = \{S \in B_Y : f^{-1}(S) \in B_X\}$ . Dado que la función de imagen inversa $f^{-1} : P(Y) \to P(X)$ conserva uniones y complementos, vemos que $W$ es un $\sigma$ -álgebra.

Ahora tenga en cuenta que si $U \in \pi$ , entonces $f^{-1}(U) \in \tau \subseteq B_X$ . De este modo, $\pi \subseteq W$ . Por lo tanto, desde $B_Y$ es lo menos $\sigma$ -álgebra que contiene $\pi$ , tenemos $B_Y \subseteq W$ . Es decir, la imagen inversa de todo conjunto medible es medible.

Debe tener cuidado ya que el OP está tratando con el producto. $\sigma$ -álgebra. En general, no es el caso que $\mathscr{B})\otimes\mathscr{B}(Y)=\mathscr{B}(X\times Y)$ para espacios topológicos $X$ , $Y$ . En el presente caso no hay problema ya que s Jean Leider correctamente mencionado, el espacio $\mathbb{R}$ es separable.

Óliver Díaz · Answer 2

Las funciones continuas siempre son Borel medibles. En particular, $f(x,y)=xy$ pecado continuo. Esto, para cualquier conjunto Borel $U\subset \mathbb{R}$ , $f^{-1}(U)$ es un Bprel establecido en $\mathscr{B}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Desde $\mathbb{R}$ es separable, $\mathscr{B}(\mathbb{R})\otimes\mathbb{R}(\mathbb{R})=\mathscr{B}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ ; por eso $f$ es medible con respecto al producto $\sigma$ -álgebra $\mathscr{B}(X)\otimes\mathscr{B}(\mathbb{R})$ .

Está f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definido por f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -¿mensurable?

Céline Harumi

diracdeltafunk

Céline Harumi

diracdeltafunk

Céline Harumi

diracdeltafunk

Céline Harumi

Respuestas (2)

Médico que

Óliver Díaz

Óliver Díaz

Una función de valor real definida en un subconjunto de Borel de RR\mathbb{R} con un número contable de discontinuidades es medible por Borel

Demuestre que el conjunto de todos los números reales cuya notación decimal incluye el número 2 son borel medibles

Pregunta sobre funciones medibles de Borel y álgebras Sigma de Borel.

¿Por qué el conjunto medible μμ\mu está contenido en el conjunto de Borel?

La colección de conjuntos de Borel BB\mathcal{B} es invariante a la traducción

Una función creciente f:B→R, B⊂Rf:B→R, B⊂Rf:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R} debe ser continua en todos los elementos de BBB excepto en un subconjunto contable de BBB

A+BA+BA+B Borel establecido si AAA es contable, abierto.

Mostrando si fff es Borel medible y BBB es un conjunto de Borel, entonces f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) es un conjunto de Borel.

¿Algún subconjunto de RR\mathbb{R} es un conjunto de Borel?

Si B⊂RB⊂RB\subset\mathbb{R} es un conjunto de Borel y f:B→Rf:B→Rf:B\to\mathbb{R} es una función creciente, entonces f(B)f(B)f (B) es un conjunto de Borel