Mostrando si fff es Borel medible y BBB es un conjunto de Borel, entonces f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) es un conjunto de Borel.

El siguiente problema es de Royden & Fitzpatrick (4 ed.). Estoy atascado en mostrar (ii), ¿alguien puede ayudarme a probarlo? Gracias.

Página 59, problema 8. (Mensurabilidad de Borel) Una función F se ha dicho Borel medible proporcionado su dominio mi es un conjunto de Borel y para cada C , el conjunto { X ∈ mi | F ( X ) > C } es un conjunto de Borel. Verifique que la Proposición 1 y el Teorema 6 siguen siendo válidos si reemplazamos "(Lebesgue) conjunto medible" por "Conjunto de Borel". Demuestre que: (i) toda función medible de Borel es medible según Lebesgue; (ii) si F es Borel medible y B es un conjunto de Borel, entonces F − 1 ( B ) es un conjunto de Borel; (iii) si F y gramo son Borel medibles, por lo que es F ∘ gramo ; y (iv) si F es Borel medible y gramo es Lebesgue medible, entonces F ∘ gramo es Lebesgue medible.

Prueba. Todo conjunto medible de Borel es medible de Lebesgue desde B ∈ B ( R ) , entonces B es un conjunto medible de Lebesgue excepto quizás en un conjunto de medida 0. Para (iii), suponga gramo : R → R y F : R → R . Entonces, ( F ∘ gramo ) − 1 ( ( C , ∞ ) ) = gramo − 1 ∘ F − 1 ( ( C , ∞ ) ) . Por la hipótesis, F − 1 ( ( C , ∞ ) ) = B ∈ B ( R ) . Por definición de conjunto de Borel, cualquier miembro de B ( R ) es el resultado de operaciones de conjuntos contables o un miembro de la topología en R . Cualquier miembro de la topología en R puede escribirse como el resultado contable de operaciones de conjunto en ( a , ∞ ) para algunos a ∈ R , entonces gramo − 1 ( B ) ∈ B ( R ) . De este modo, F ∘ gramo es Borel medible. Ahora para demostrar (iv), suponga F : ( X , T ) → ( R , tu ) con ( X , T ) un espacio topológico general, y tu la topología estándar en R . Por definición, cualquier conjunto de Borel B ∈ B ( R ) es el resultado de operaciones de conjuntos contables como un conjunto abierto. Ahora dado que F − 1 ( ( C , ∞ ) ) ∈ B ( X ) , cualquier conjunto abierto puede escribirse en términos de rayos abiertos y cualquier conjunto de Borel en R puede escribirse en términos de estos conjuntos abiertos. Por lo tanto, la imagen inversa de un conjunto de Borel en R es el conjunto contable resultado teórico de operaciones en F − 1 ( ( C , ∞ ) ) que es un conjunto de Borel como B ( X ) es un σ -álgebra.

Respuestas (1)

Dejar A sea ​​el conjunto de todos los subconjuntos de Borel B de R tal que F − 1 ( B ) es también un subconjunto de Borel R . Desde F es Borel-medible tenemos ( C , ∞ ) ∈ A para todos C ∈ R .

Dejar σ ( A ) ser el más pequeño σ -álgebra que contiene el conjunto A . Ya que la operación F − 1 , es decir, operación de tomar conmutaciones inversas con la operación de unión contable y la operación de tomar complemento, por lo que tenemos σ ( { F − 1 ( B ) : B ∈ A } ) = { F − 1 ( X ) : X ∈ σ ( A ) } .

Ahora, desde σ ( A ) es un σ -álgebra tenemos ( a , ∞ ) ∩ ( b , ∞ ) = ( a , b ) ∈ σ ( A ) para todos a , b ∈ R .

Similarmente, ( − ∞ , a ′ ] = R ∖ ( a ′ , ∞ ) también está en σ ( A ) para todos a ′ ∈ R como σ -el álgebra es cerrada bajo complemento.

Por eso, ( − ∞ , a ) = ⋃ norte = 1 ∞ ( − ∞ , a − 1 norte ] es también un elemento de σ ( A ) para todos a ∈ R como σ -el álgebra se cierra bajo la unión contable.

Además, todo subconjunto abierto de R puede escribirse como una unión contable de intervalos abiertos de R y cada σ -el álgebra se cierra bajo la unión contable. Por lo tanto, todo subconjunto abierto de R es un elemento de σ ( A ) . En otras palabras, el conjunto τ ( R ) de todos los subconjuntos abiertos de R es un subconjunto de A .

Pero, el Borel- σ álgebra B ( R ) de R es el más pequeño σ -álgebra que contiene todos los subconjuntos abiertos de R , es decir σ ( τ ( R ) ) = B ( R ) . Por eso, σ ( A ) ⊇ B ( R ) como A ⊇ τ ( R ) .

Finalmente, para cualquier Y ∈ B ( R ) ⟹ Y ∈ σ ( A ) ⟹ F − 1 ( Y ) ∈ σ ( { F − 1 ( B ) : B ∈ A } ) ⊆ B ( R ) . La última inclusión se debe a que cada conjunto F − 1 ( B ) ∈ B ( R ) para todos B ∈ A de la definición de A . Por eso, σ ( { F − 1 ( B ) : B ∈ A } ) ⊆ σ ( B ( R ) ) = B ( R ) .

Gracias, ¿crees que mi explicación para el resto es suficiente?
De nada. Sí, independientemente de lo que haya escrito en su pregunta, quiero decir que las pruebas de (i), (iii) y (iv) son correctas.
Mostrando si fff es Borel medible y BBB es un conjunto de Borel, entonces f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) es un conjunto de Borel.
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