Comprender la prueba de cada subconjunto abierto no vacío U⊂RU⊂RU\subset \mathbb{R} es una unión disjunta (como máximo contable) de intervalos abiertos

Declaración : cada subconjunto abierto no vacío$U\subset \mathbb{R}$es una unión disjunta (como máximo contable) de intervalos abiertos.

La prueba provino de las notas del curso (página 8) de un curso de teoría de la medida en el siguiente enlace

https://people.clas.ufl.edu/pascoej/files/6616notes01dec2017.pdf

Prueba

Primero, verifique que si$I$y$J$son intervalos y$I\cap J\neq \emptyset$, entonces$I\cup J$es un intervalo.

Dado$x\in U$, dejar

$\alpha_x=\sup\{a:[x,a)\subset U\}$,

$\beta_x=\inf\{b:(b,x]\subset U\}$,

$I_x=(\beta_x,\alpha_x)$.

Verifique que, por$x,y\in U$cualquiera$I_x=I_y$o$I_x\cap I_y=\emptyset$.

En efecto$x\sim y$si$I_x=I_y$es una relación de equivalencia en$U$. Por eso,$U=\bigcup_{x\in U} I_x$expresa$U$como una unión disjunta de intervalos no vacíos, digamos$U=\bigcup_{p\in P}I_p$dónde$P$es un conjunto índice y el$I_p$son intervalos no vacíos. Para cada$q\in \mathbb{Q}\cap U$existe un unico$p_q$tal que$q\in I_{p_q}$. Por otra parte, para cada$p\in P$hay un$q\in \mathbb{Q}\cap U$tal que$q\in I_p$. Así, el mapeo de$\mathbb{Q}\cap U$a$P$definido por$q\rightarrow p_q$está sobre. Resulta que$P$es a lo sumo contable.

Preguntas

Quiero comprobar mi comprensión de las dos verificaciones que el autor le pidió al lector que hiciera. Aquí están mis intentos.

1. Verifique que si$I$y$J$son intervalos y$I\cap J\neq \emptyset$, entonces$I\cup J$es un intervalo.

Recuerde que, para un subconjunto$I$de los números reales para ser un intervalo debe satisfacer que

$$(\forall a,b \in I)(a<c<b\implies c\in I).$$ Si$I\cap J\neq \emptyset$, entonces existe$t,a_I,b_I,a_J,b_J$tal que $$a_I<t<b_I\text{ and }a_J<t<b_J$$ dónde$a_I,b_I,t$están todos en$I$y$a_J,b_J,t$están todos en$J$. mantendremos tal$t$para uso posterior.
Para todos$a,b\in I\cup J$, tomar cualquiera$y$satisfactorio$a<y<b$, entonces tambien$y<t$o$y>t$. Si$y<t$, entonces$y\in (a_I,t)$. Entonces$y\in I$. Si$y>t$, entonces$y\in (t,b_J)$. Entonces$y\in J$. Por lo tanto,$y\in I\cup J$y$I\cup J$es un intervalo.

2. Verifique que, por$x,y\in U$cualquiera$I_x=I_y$o$I_x\cap I_y=\emptyset$.

voy a demostrar que$I_x\cap I_y\neq\emptyset$, entonces$I_x=I_y$.
Si$I_x\cap I_y\neq\emptyset$, entonces$I_x\cup I_y$es un intervalo por lo que acabamos de mostrar. Entonces

$$I_x\cup I_y= \Big(\max(\beta_x,\beta_y),\ \min(\alpha_x,\alpha_y)\Big)$$ Por construcción,$I_x=I_x\cup I_y =I_y$.

Solo conozco la topología básica y el autor claramente trató de evitar la noción de conjunto conectado. Sería genial si alguien pudiera mejorar mis pruebas y ayudarme con la terminología. Por ejemplo, el intervalo extendido estropeará el uso de los operadores máximo y mínimo.