A+BA+BA+B Borel establecido si AAA es contable, abierto.

Si A , B ⊂ R , definimos

A + B = { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } .

Suponer B es un conjunto de Borel, entonces necesitamos

Pruebalo A + B es un conjunto de Borel si

  • A es contable.
  • A Esta abierto.

Los conjuntos de Borel son los conjuntos que se pueden construir a partir de los conjuntos abiertos y cerrados tomando repetidamente uniones e intersecciones contables.

Pero, ¿cómo aplicar la intersección/unión contable a este problema? Aquí estamos tomando la suma de dos conjuntos.

Como todo homomorfismo conserva el σ -álgebra de conjuntos de Borel, pensé en considerar el mapa de traslación F : B → A + B dónde F ( b ) = a + b . ¿Esto servirá o tendré que hacer argumentos más precisos?

No puedo aplicar el hecho de que la diferencia de dos conjuntos de Borel es un conjunto de Borel ya que no sé si A es un conjunto de Borel o no.

No entiendo tu último párrafo. sabes si A es Borel o no. En realidad, esto es útil para resolver el problema, así que comience mostrando esto: En ambos casos, A es Borel.
Además, no entiendo cuál es su función. F es. Es a ¿fijado? ¿Varía? Pensaste en esa función, que es una traslación. De acuerdo. ¿Qué pasa con eso? ¿Cómo ayuda eso? Seguramente necesitará argumentos más precisos que una idea vaga.
Veo que tengo que ser preciso, déjame pensar más!
Si A está abierto, entonces A + B está abierto porque A + B = { A + b ∣ b ∈ B } es una unión de conjuntos abiertos. En este caso, B puede ser arbitrario, no necesariamente Borel.

Respuestas (2)

el caso cuando A está abierto es difícil porque la gente extraña lo fácil que es.

Dejar a + b ∈ A + B ser arbitrario. Desde A está abierto, existen algunos ϵ > 0 tal que ( a − ϵ , a + ϵ ) ⊂ A .

Entonces

( a + b − ϵ , a + b + ϵ ) ⊂ A + B
y por lo tanto A + B está abierto _

Si A es contable, entonces A + B = ⋃ { a + B : a ∈ A } es una unión contable de conjuntos de Borel.

¡¡Sí, bien!! pero ¿cómo lidiar con abrir?
@BAYMAX, ¿qué puedes decir sobre A + b para b ¿fijado?
A+BA+BA+B Borel establecido si AAA es contable, abierto.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v