¿Por qué el conjunto medible μμ\mu está contenido en el conjunto de Borel?

Question

¿Por qué el conjunto medible μμ\mu está contenido en el conjunto de Borel?

conjuntos de borel
Matemáticas
análisis real
teoría de la medida

XXX

Estoy leyendo el último capítulo de baby rudin. Tengo problemas para entender la diferencia entre $\mu$ - Conjuntos medibles y los conjuntos de Borel. Los comentarios en la página 309 implican que el último está contenido en el primero. Pero desde mi punto de vista, ambos son la colección de conjuntos, que son las formas finales de los intervalos abiertos después de sufrir intersecciones, tomar complementos y uniones. Entonces, ¿qué son exactamente $\mu$ - conjuntos medibles ? ¿Y por qué los conjuntos de Borel $\mu$ - medible para cada $\mu$ ?

HallaSuperviviente

¡Bienvenido a mse! No estoy seguro de entender tu pregunta. ¿Estás preguntando por qué cada conjunto borel es

μ

$\mu$ -medible (donde supongo

μ

$\mu$ es medida lebesgue?)? ¿O estás preguntando por qué hay

μ

$\mu$ -conjuntos medibles que no son borel?

ndhanson3

Entonces sí, todos los conjuntos de Borel son medibles. Debería haber un ejemplo en alguna parte de un conjunto definido usando la función de Cantor de un conjunto medible que no es Borel.

ndhanson3

También,

μ

$\mu$ no es una variable,

μ

$\mu$ es la abreviatura de la medida de Lebesgue.

XXX

@HallaSurvivor ¡Hola! Creo

μ

$\mu$ puede ser cualquier medida, no solo la medida de lebesgue. Estoy muy confundido con el concepto de

μ - m e a s u r a b l e

$\mu-measurable$ conjuntos ¿Están definidos para cualquier medida, es decir, una colección de conjuntos medibles o solo se refieren a una medida en particular?

XXX

@ ndhanson3 Creo que Rudin usa

m

$m$ para la medida de Lebesgue y

μ

$\mu$ para cualquier tipo de medida

Daniel

Esta pregunta tiene la construcción pero está involucrada. Es difícil encontrar conjuntos borel que no sean medibles, pero existen.

ndhanson3

@DanielApsley Te refieres a Lebesgue medible pero no a Borel.

Respuestas (1)

¿Por qué el conjunto medible μμ\mu está contenido en el conjunto de Borel?

¡Bienvenido a mse! No estoy seguro de entender tu pregunta. ¿Estás preguntando por qué cada conjunto borel es $\mu$ -medible (donde supongo $\mu$ es medida lebesgue?)? ¿O estás preguntando por qué hay $\mu$ -conjuntos medibles que no son borel?
Entonces sí, todos los conjuntos de Borel son medibles. Debería haber un ejemplo en alguna parte de un conjunto definido usando la función de Cantor de un conjunto medible que no es Borel.
También, $\mu$ no es una variable, $\mu$ es la abreviatura de la medida de Lebesgue.
@HallaSurvivor ¡Hola! Creo $\mu$ puede ser cualquier medida, no solo la medida de lebesgue. Estoy muy confundido con el concepto de $\mu-measurable$ conjuntos ¿Están definidos para cualquier medida, es decir, una colección de conjuntos medibles o solo se refieren a una medida en particular?
@ ndhanson3 Creo que Rudin usa $m$ para la medida de Lebesgue y $\mu$ para cualquier tipo de medida
Esta pregunta tiene la construcción pero está involucrada. Es difícil encontrar conjuntos borel que no sean medibles, pero existen.
@DanielApsley Te refieres a Lebesgue medible pero no a Borel.

ndhanson3 · Answer 1

Para cualquier medida $\mu$ , la observación (a) dice que los conjuntos abiertos son $\mu$ -mensurable. Un conjunto $E$ es $\mu$ -medible simplemente si $\mu(E)$ se define. Sin embargo, no todos los conjuntos son medibles.

Entonces el conjunto de conjuntos medibles $\mathfrak{M}(\mu)$ es un $\sigma$ -álgebra que contiene los conjuntos abiertos. Como el conjunto de Borel es el más pequeño $\sigma$ -álgebra que contiene los conjuntos abiertos, $\mathfrak{M}(\mu)$ debe contener todos los conjuntos de Borel. De hecho, esto es independientemente de con qué medida comencemos.

¿Por qué el conjunto medible μμ\mu está contenido en el conjunto de Borel?

XXX

HallaSuperviviente

ndhanson3

ndhanson3

XXX

XXX

Daniel

ndhanson3

Respuestas (1)

ndhanson3

Una función de valor real definida en un subconjunto de Borel de RR\mathbb{R} con un número contable de discontinuidades es medible por Borel

Demuestre que el conjunto de todos los números reales cuya notación decimal incluye el número 2 son borel medibles

Pregunta sobre funciones medibles de Borel y álgebras Sigma de Borel.

La colección de conjuntos de Borel BB\mathcal{B} es invariante a la traducción

Está f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definido por f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -¿mensurable?

Una función creciente f:B→R, B⊂Rf:B→R, B⊂Rf:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R} debe ser continua en todos los elementos de BBB excepto en un subconjunto contable de BBB

A+BA+BA+B Borel establecido si AAA es contable, abierto.

Mostrando si fff es Borel medible y BBB es un conjunto de Borel, entonces f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) es un conjunto de Borel.

¿Algún subconjunto de RR\mathbb{R} es un conjunto de Borel?

Si B⊂RB⊂RB\subset\mathbb{R} es un conjunto de Borel y f:B→Rf:B→Rf:B\to\mathbb{R} es una función creciente, entonces f(B)f(B)f (B) es un conjunto de Borel