La colección de conjuntos de Borel BB\mathcal{B} es invariante a la traducción

Estoy tratando de probar la siguiente afirmación:

"Pruebe que la colección de subconjuntos de Borel de$\mathbb{R}$,$\mathcal{B}$, es invariante tras la traducción. Más precisamente, demuestre que si$B\subset\mathbb{R}$es un conjunto de Borel y$t\in\mathbb{R}$, entonces$t+B$es un conjunto de Borel".

Lo que he hecho hasta ahora:

(EDITAR: ahora creo que solo las partes en negrita son necesarias para la prueba)

$\fbox{Let $t\in\mathbb{R}$: then $t+\mathcal{B}$ is a $\sigma$-algebra}$;

$\emptyset\in\mathcal{B}$y$\emptyset\overset{*}{=}\emptyset +t\in t+\mathcal{B}$

* Supongamos por el bien de la contradicción que$\emptyset +t\neq\emptyset$: esto significa que existe un elemento$a\in\emptyset +t$es decir$a=o+t$, dónde$o\in\emptyset$, contradicción, ya que$\emptyset$no contiene elementos por definición.

$E\in t+\mathcal{B}\Rightarrow E^c=t+B^c, B^c\in\mathcal{B}$entonces$E^c\in t+\mathcal{B}$;

$E_1, E_2,\dots\in t+\mathcal{B}\Rightarrow E_1=t+B_1, E_2=t+B_2, \dots\Rightarrow$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}(t+B_k)=t+\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\in t+\mathcal{B}$, desde$\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\in\mathcal{B}$.

Ahora deja$O$ser un subconjunto abierto de$\mathbb{R}$: entonces se puede escribir como la unión contable de intervalos abiertos en$\mathbb{R}, O=\bigcup_{k=1}^{\infty}(a_k,b_k)\in\mathcal{B}$y si ponemos$t\in\mathbb{R}$también podemos escribir$O=t+\bigcup_{k=1}^{\infty}(a_k-t,b_k+t)\in t+\mathcal{B}$. Entonces,$t+\mathcal{B}$contiene todos los subconjuntos abiertos de$\mathbb{R}$y ya que por definición$\mathcal{B}$es el más pequeño$\sigma$-álgebra que contiene todos los subconjuntos abiertos de$\mathbb{R}$resulta que$\mathcal{B}\subset t+\mathcal{B}.$

Dejar$t\in\mathbb{R}$y y considere la función$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=x-t$: entonces$f$, al ser una función continua, también es una función medible por Borel, por lo que$f^{-1}(B)=B+t$es un juego de Borel para cada juego de Borel$B$asi que tambien tenemos eso$t+\mathcal{B}\subset \mathcal{B}$de este modo$t+\mathcal{B}=\mathcal{B}$, como se desee.