Una función creciente f:B→R, B⊂Rf:B→R, B⊂Rf:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R} debe ser continua en todos los elementos de BBB excepto en un subconjunto contable de BBB

Estoy tratando de probar la siguiente declaración, pero he estado atascado por un tiempo y estoy buscando una pista sobre cómo probarlo:

"Suponer$B\subset\mathbb{R}$y$f:B\to\mathbb{R}$es una función creciente. Pruebalo$f$es continua en cada elemento de$B$a excepción de un subconjunto contable de$B$."

Lo que he intentado hacer:

Como no pude abordar la declaración original, intenté asumir que$B$es también un conjunto de Borel para explotar de alguna manera el hecho de que$f$debe ser entonces una función medible de Borel. Entonces sí$D:=\{x\in B: f\text{ is not continuous at }x\}$y$C$es un conjunto de Borel que tenemos que$f^{-1}(C)$es un conjunto de Borel y$f^{-1}(C)=(f^{-1}(C)\cap D)\cup (f^{-1}(C)\cap B\setminus D)$y en este punto traté de continuar por contradicción, asumiendo que$D$es incontable y trató de demostrar que$(f^{-1}(C)\cap D)\cup (f^{-1}(C)\cap B\setminus D)$no es un conjunto de Borel, pero no lo he logrado, por lo que agradecería mucho cualquier sugerencia, comentario o explicación que pueda orientarme hacia un enfoque más fructífero, gracias .

EDITAR (Prueba): Dejar$D:=\{x\in B:f\text{ is not continuous at }x\}$: desde$f$es monótono (creciente) solo puede tener discontinuidades de salto, por lo que si$d\in D$entonces$I_d:=(\lim\limits_{x \to d^-,\ x\in B\\}f(x),\lim\limits_{x \to d^+,\ x\in B}f(x))=(\sup_{x<d,\ x\in B}f(x),\inf_{x>d,\ x\in B} f(x))$es un intervalo no vacío en$\mathbb{R}$por lo tanto debe haber un número racional$q_d$en ella cual podemos elegir y ya que$I_d\cap I_{d'}=\emptyset$para$d\neq d'$* este número racional también es único por lo que podemos definir una función inyectiva$g:D\to\mathbb{Q}, g(d):=q_d$. De este modo$\#(D)\leq \#(\mathbb{Q})=\#(\mathbb{N})$es decir, el conjunto de puntos en los que$f$es discontinuo es (como máximo) contable, como se desee.$\square$

(*) Suponer$I_d\cap I_{d'}\neq\emptyset$para algunos$d\neq d'$(podemos suponer wlog que$d<d'$): entonces debe haber$y\in I_d\cap I_{d'}$entonces$\sup_{x<d,\ x\in B}f(x)<y<\inf_{x>d,\ x\in B}f(x)$y$\sup_{x<d',\ x\in B}f(x)<y<\inf_{x>d',\ x\in B}f(x)$lo que implica (ya que$d\leq d'\Rightarrow \inf_{x>d,\ x\in B}f(x)\leq \sup_{x<d', x\in B}f(x)$) eso$y<y$, contradicción.