Una especie de ecuación de conservación

Hasta donde yo sé, en Relatividad General, una expresión del tipo$\nabla_{\mu} X^{\mu} = 0$afirma que, asociado a$X^{\mu}$, existe una carga que se conserva. El primer ejemplo que viene a la mente es la conservación de la energía-momento$\nabla_{\mu} T^{\mu\nu} = 0$, como consecuencia de las identidades de Bianchi contraídas y asumiendo las ecuaciones de campo de Einstein.

Mi pregunta se refiere al significado de la siguiente expresión:

dónde$R^{\mu\nu}$es el tensor de Ricci covariante y$K_{\nu}$es un campo vectorial genérico .

¿Significa algo esta ecuación tal como está? ¿O tengo que imponer una métrica (y por lo tanto una forma del tensor de Ricci) para encontrar más información?

El hecho es que no entiendo qué tipo de cantidad conservada podría estar relacionada con el vector$R^{\mu\nu} K_{\nu}$.

La ecuación proviene de una forma bastante peculiar de obtener una teoría de la gravedad modificada. La referencia está aquí , pero la fuente original está allí.

Admito que el procedimiento no está del todo claro para mí, pero básicamente parece apelar a un enfoque similar a la "teoría de calibre" para obtener ecuaciones de campo gravitatorio modificadas. Es algo largo, pero en última instancia consideran conmutadores de derivadas covariantes de órdenes sucesivos para obtener cantidades relevantes, como el tensor de Riemann (conmutador de primer orden) y la materia actual (conmutador de segundo orden). Para esto último, es necesaria la analogía con las teorías gauge. Finalmente obtienen las ecuaciones de campo gravitatorio modificadas, eq.(16) en la primera referencia.

La propia naturaleza del enfoque hace necesario el uso de un campo vectorial$K_{\nu}$para llevar a cabo los cálculos, pero nunca se especifica el carácter de dicho campo vectorial (de hecho, no es necesario). Solo después de la ecuación (16) comentan que el caso de Einstein se recupera si$\nabla_{\mu}K_{\nu}=0$.

Volviendo a la ecuación que publiqué... para tener algunas pistas sobre el significado de todo esto, a partir de la ecuación (16) en el documento, solo impongo la condición de vacío$T^{\mu\nu}=0$y mira lo que pasa:

$\left(\nabla_{\mu}R^{\mu\nu}\right) K_{\nu} + R^{\mu\nu} \left( \nabla_{\mu} K_{\nu} \right) = 0$

y eso es.

No me convencen en absoluto los comentarios que hacen sobre el campo vectorial (lo llaman "sustrato") pero el procedimiento en general no me parece del todo malo.