¿Son simétricas las derivadas covariantes de los campos vectoriales Killing?

Question

¿Son simétricas las derivadas covariantes de los campos vectoriales Killing?

usuario24999

Estoy leyendo Lecture Notes on General Relativity de Matthias Blau , y en la sección 9.1 (punto 1) escribe:

Dejar $K^\mu$ ser un campo vectorial Killing , y ${x^\mu(\tau)}$ ser una geodésica. Entonces la cantidad
$q_{k} = k_{m} {\dot{X}}^{m}$ $Q_K=K_\mu\dot{x}^\mu$ es constante a lo largo de la geodésica.

Ahora, en la ecuación (9.2) escribe

\nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} = \frac{1}{2} (\nabla_{v} k_{m} + \nabla_{m} k_{v}) {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}

$\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu=\frac{1}{2}(\nabla_\nu{K}_\mu+\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ que desaparece debido a la ecuación de Killing.

Lo que realmente no entiendo es por qué ${\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu=0}$ . Puedo ver eso porque ${\mu,\nu}$ son índices ficticios, entonces

\begin{aligned} \nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v} & = \nabla_{m} k_{v} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} \\ (1) & ⟹ \nabla_{v} k_{m} - \nabla_{m} k_{v} = 0 \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu&=\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu\\&\Longrightarrow\,\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu=0 \tag{1}\end{align}$ ¿Es válido este argumento? Si es así,

(1)

$(1)$ mantener en general para matar vectores? Como estoy casi seguro de que no es así, a pesar del título de mi pregunta (todos los campos de vectores Killing serían campos de gradiente), ¿ocurre solo a lo largo de la geodésica? De ser así, ¿qué interpretación tendría esta condición?

John

No dice que la parte antisimétrica deba desaparecer, de hecho, en general no lo hace. Lo que dice es que solo la parte simétrica contribuye a la expresión. De hecho, si tienes un vector,

V^{ν}

$V^\nu$ , y un tensor

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ , entonces sólo la parte simétrica de

T

$T$ contribuye a

T_{μ ν} V^{μ} V^{ν}

$T_{\mu\nu} V^\mu V^\nu$ . En su caso,

T = \nabla K

$T=\nabla K$ y

V^{ν} = {\dot{x}}^{ν}

$V^\nu=\dot{x}^\nu$

Respuestas (1)

¿Son simétricas las derivadas covariantes de los campos vectoriales Killing?

No dice que la parte antisimétrica deba desaparecer, de hecho, en general no lo hace. Lo que dice es que solo la parte simétrica contribuye a la expresión. De hecho, si tienes un vector, $V^\nu$ , y un tensor $T_{\mu\nu}$ , entonces sólo la parte simétrica de $T$ contribuye a $T_{\mu\nu} V^\mu V^\nu$ . En su caso, $T=\nabla K$ y $V^\nu=\dot{x}^\nu$

Edvard · Answer 1

Un vector de matanza $K^\mu$ se define como un vector Lie derivado de la métrica a lo largo del cual se anula.

L_{k} {gramo}_{m v} = 0, ⟹ \nabla_{m} k_{v} + \nabla_{v} k_{m} = 0.

$\begin{equation} \mathcal{L}_K g_{\mu\nu}=0, \quad \Longrightarrow \nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu=0. \end{equation}$ Supongo que no hay necesidad de escribir la derivación de esta ecuación explícitamente ya que puedes encontrarla en todas partes.

Con respecto a su pregunta sobre la antisimetrización. Comencemos con la expresión

\begin{aligned} \nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v} & = \nabla_{m} k_{v} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} \\ (1) & ⟹ (\nabla_{v} k_{m} - \nabla_{m} k_{v}) {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v} = 0 \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu&=\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu\\&\Longrightarrow\,(\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu=0 \tag{1}\end{align}$ De esta forma, la última ecuación es trivial ya que contraemos un tensor antisimétrico con uno simétrico

{\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ . Sin embargo, no se puede derivar de aquí la ecuación

\nabla_{m} k_{v} - \nabla_{v} k_{m} = 0

$\nabla_\mu K_\nu-\nabla_\nu K_\mu=0$ ya que esto es cierto solo en la contracción con un tensor simétrico.

Por lo tanto, la ecuación de Killing $\nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu=0$ que fue utilizado por Blau en realidad proviene de la definición al comienzo de esta publicación. La simetrización en la expresión $\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu$ como ya mencionó John viene de contraerse con el tensor simétrico $\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu$ . En detalles:

\begin{aligned} \nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} & = \frac{1}{2} (\nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} + \nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} + \nabla_{α} k_{β} {\dot{X}}^{α} {\dot{X}}^{β}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} + \nabla_{α} k_{β} {\dot{X}}^{β} {\dot{X}}^{α}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} k_{m} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} + \nabla_{m} k_{v} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} k_{m} + \nabla_{m} k_{v}) {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu&=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\alpha{K}_\beta\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\alpha{K}_\beta\dot{x}^\beta\dot{x}^\alpha)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu+\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu). \end{aligned} \end{equation}$ Aquí en la segunda línea acabo de renombrar los índices, en la tercera el

{\dot{x}}^{α}

$\dot{x}^\alpha$ y

{\dot{x}}^{β}

$\dot{x}^\beta$ fueron permutados y luego les cambié el nombre a los índices nuevamente.

Una pregunta: la condición de ser Killing field implica que para campos vectoriales $X,Y$ tendremos $g(\nabla_X K, Y) + g(X,\nabla_Y K)=0$ . En una variedad de Riemann (es decir, firma todo +), esto obviamente implica elegir una base ortonormal $e_{\mu}$ y tomando $X = e_\mu$ , $Y = e_\nu$ , eso $\nabla_\mu K_\nu + \nabla_\nu K_\mu = 0$ . Pero en una variedad pseudo-riemanniana, tenemos $g(e_\mu,e_\nu)=\pm \delta_{\mu\nu}$ . ¿Cómo esto no afecta el signo más en la ecuación de Killing al convertir a la versión de componentes?

¿Son simétricas las derivadas covariantes de los campos vectoriales Killing?

usuario24999

John

Respuestas (1)

Edvard

Oro

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