Cómo obtener el tensor de curvatura de Riemann del conmutador que opera en un vector base

A continuación se supone que los vectores base son funciones variables de posición. Esto significa que cuando un vector aparece bajo el operador de diferenciación, tanto los componentes como los vectores base, en general, se diferenciarán de acuerdo con la regla del producto. Un subrayado indica que un término en particular debe mantenerse constante durante la diferenciación.

Del que opera en un vector se escribe como

$$\nabla\left[\vec{v}\right]=\partial_{\sigma}\left[\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}.$$

Las formas de base 1 se tratarán como vectores base contravariantes. Entonces, en una base de coordenadas, tenemos

$$\mathfrak{e}^{\sigma}=dx^{\alpha}.$$

Del seguido de contratos de 'vector de punto' en el índice de diferenciación. Esto se llama la derivada direccional.

$$\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\vec{w}=\partial_{\sigma}\left[\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}\cdot\mathfrak{e}_{\omega}w^{\omega}=\frac{\partial\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}}{\partial x^{\omega}}w^{\omega}.$$

En particular, la derivada parcial con respecto a la

$$\nabla\left[\varphi\right]\cdot\mathfrak{e}_{\delta}=\partial_{\delta}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x^{\delta}}$$

$$\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\mathfrak{e}_{\omega}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial x^{\omega}}.$$

Del precedido por un 'punto vectorial' se contrae en el argumento de del.

$$\vec{u}\cdot\nabla\left[\vec{v}\right]=\partial_{\sigma}\left[\underline{\mathfrak{e}_{\upsilon}u^{\upsilon}}\cdot\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]$$

$$\vec{u}\cdot\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\vec{w}=\partial_{\sigma}\left[\underline{\mathfrak{e}_{\upsilon}u^{\upsilon}}\cdot\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}\cdot\mathfrak{e}_{\omega}w^{\omega}$$

Colocar una barra debajo de un índice (o en matemáticas, una barra sobre el índice) indica un componente que vive en el plano tangente. Entonces el$\beta$El vector base que vive en la variedad se puede expresar sobre la base tangente como

$$\mathfrak{e}_{\beta}=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}.$$

$$\nabla\left[\mathfrak{e}_{\beta}\right]=\partial_{\bar{\gamma}}\left[\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}\right]\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

$$=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\partial_{\bar{\gamma}}\left[\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}\right]\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

$$=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

Por poco ortodoxo que parezca, observe que conduce a la forma tradicional del coeficiente de conexión

$$\mathfrak{e}^{\alpha}\cdot\nabla\left[\mathfrak{e}_{\beta}\right]\cdot\mathfrak{e}_{\gamma}=\mathfrak{e}^{\alpha}\cdot\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}\cdot\mathfrak{e}_{\gamma}$$

$$=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\bar{\beta}}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\gamma}}}{\partial x^{\gamma}}$$

$$=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\bar{\beta}}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\gamma}\partial x^{\beta}}=\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\gamma}.$$

Dado que uso corchetes para encerrar listas de parámetros, uso corchetes dobles$\left[\![\_,\_\right]\!]$para indicar el conmutador. Como se indicó anteriormente, uso la notación de producto escalar de manera intercambiable con la notación de contracción.

La notación anterior ha demostrado ser invaluable en muchas circunstancias. Debería funcionar para producir el tensor de curvatura de Riemann comenzando con la ecuación MTW 8.44. Desafortunadamente, no he descubierto una manera de traducir el término más a la derecha en la forma a la que llegué, a los términos que involucran productos de símbolos de Christoffel.

¿Alguien ve una manera de hacer que esto funcione? La primera línea de la siguiente captura de pantalla es una toma en la oscuridad.

Esta es una derivación más convencional basada en el ejercicio MTW 11.3 (que incluye la solución).