¿Todos los espaciotiempos máximamente simétricos son espaciotiempos de curvatura constante?

Si la métrica es riemanniana (positiva), su conjetura (un espaciotiempo máximamente simétrico es un espaciotiempo de curvatura constante) es un teorema conocido: Teorema 3.1 en Grupos de transformación en geometría diferencial por S. Kobayashi. A partir de la prueba, me parece que el resultado debería ser válido también en el caso de Lorenzian, pero sin un examen más detallado no estoy completamente seguro.

Esta es una vieja pregunta, pero ampliaré la respuesta de Valter Moretti. Sí, los espacios pseudo-Riemannianos máximamente simétricos (en el sentido de que tienen el número máximo de campos de vectores Killing) son espacios de curvatura constante.

La prueba se encuentra en Weinberg: Gravitation and Cosmology, alrededor de la página 376. Los argumentos de Weinberg no son completamente rigurosos, pero pueden hacerse usando el teorema de integrabilidad de Frobenius.

Un campo vectorial asesino$\xi^\mu$satisface

Definición$\chi_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu$, esto se reduce al sistema PDE sobredeterminado

Si la variedad admite el número máximo de campos vectoriales Killing, esto significa que el sistema de ecuaciones anterior se puede resolver para cualquier valor inicial$\xi_\sigma(x_0)=a_\sigma,\quad\chi_{\mu\nu}(x_0)=b_{\mu\nu}$. Por lo tanto, la ecuación debe ser completamente integrable.

El teorema de Frobenius da las condiciones necesarias y suficientes para una integrabilidad completa. De hecho, podemos usar una versión completamente covariante del teorema de la siguiente manera:

1. Primero formamos las segundas derivadas covariantes de la ecuación: $$\nabla_\mu\nabla_\nu\chi_{\rho\sigma}=-\nabla_\mu(R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\tau)=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\nabla_\mu\xi_\sigma \\ \nabla_{\mu}\nabla_\nu\xi_\rho=\nabla_\mu\chi_{\nu\rho}.$$
2. Sustituimos de la ecuación aquí: $$\nabla_\mu\nabla_\nu\chi_{\rho\sigma}=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\chi_{\mu\sigma} \\ \nabla_\mu \nabla_\nu\xi_\rho=-R^\sigma_{\ \mu\nu\rho}\xi_\sigma.$$
3. Las funciones$\xi_\sigma$y$\chi_{\rho\sigma}$debe satisfacer las identidades de Ricci, por lo tanto, si restamos de las ecuaciones anteriores con$\mu,\nu$intercambiado, obtenemos $$-R^\tau_{\ \rho\mu\nu}\chi_{\tau\sigma}-R^\tau_{\ \sigma\mu\nu}\chi_{\rho\tau}=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma+\nabla_\nu R^{\tau}_{\ \mu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\chi_{\mu\sigma}+R^\tau_{\ \mu\rho\sigma}\chi_{\nu\sigma} \\ -R^\tau_{\ \rho\mu\nu}\xi_\tau=-R^\tau_{\ \mu\nu\rho}\xi_\tau+R^\tau_{\ \nu\mu\rho}\xi_\tau.$$

Después de la manipulación [puede haber errores de signo, porque no he verificado las convenciones de Weinberg sino que he usado las mías con la identidad de Ricci], esto se reduce al sistema de ecuaciones [estoy copiando esto de Weinberg]

Estas ecuaciones deben ser válidas para cualquier valor de$\xi_\lambda$y cualquier valor antisimétrico de$\chi_{\kappa\lambda}$.

No voy a escribir esto explícitamente, pero estableciendo$\xi_\lambda=0$y antisimetrizante en$\kappa,\lambda$, luego "cancelando"$\chi_{\kappa\lambda}$da un conjunto de ecuaciones (se puede encontrar en Weinberg). Si tomamos la traza en un par apropiado de índices, encontramos

Cuando$m>2$($m$es la dimensión del espacio) el lema habitual de Schur da que$R$debe ser una constante. Cuando$m=2$podemos usar el segundo conjunto de condiciones de integrabilidad (estableciendo$\chi_{\kappa\lambda}=0$y$\xi_\lambda$a arbitraria) junto con la identidad de Bianchi para mostrar que$R$es constante para$m=2$también.

Por lo tanto, los espacios con simetría máxima también son espacios de curvatura constante. La firma métrica no juega ningún papel aquí.