Vectores asesinos y cantidades conservadas en relatividad general

Sé que esta pregunta ya se ha hecho y respondido (ver por ejemplo aquí y aquí ) y aunque la segunda respuesta se acerca bastante a cuál es mi problema (incluso al tocar mi pregunta uno, simplemente lo ignora con un "por definición "), todavía no veo dónde falla exactamente mi razonamiento.

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Configuración

Dejar$\gamma : I \to M$, para$I\subset\mathbb{R}$, sea una curva suave, entonces$\dot\gamma(\lambda)$es un elemento del espacio tangente en$\gamma(\lambda)$, que denotaremos por$T_{\gamma(\lambda)}M$. Ahora podemos elegir un gráfico local$x$en algún subconjunto abierto$U$de$M$, tal que podemos expresar$\dot\gamma(\lambda)$como$\dot\gamma(\lambda)\equiv \dot x^\mu(\lambda)\partial_\mu$.

Si$\nabla$es la conexión de Riemann en$M$, entonces hemos definido una geodésica como una curva en$M$que satisface$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$.

Dejar$K$ser un campo de vector Killing. Entonces aparentemente lo siguiente es cierto:

$$\frac{d}{d\lambda}(K_\mu \dot x^\mu)=0.$$

Si se trató de calcular esto directamente:

$$\begin{align*}\frac{d}{d\lambda}(K_\mu\dot x^\mu)&\equiv\nabla_{\dot\gamma}(K_\mu \dot x^\mu) = \dot x^\nu \nabla_{\partial_\nu}(K_\mu\dot x^\mu) = \dot x^\nu (K_\mu \nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu +K_{\mu,\nu}\dot x^\mu)\\ &= (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu + \frac{1}{2}(K_{\mu,\nu}+K_{\nu,\mu})\dot x^\mu\dot x^\nu\\ &\overset{(*)}{=} (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu + \frac{1}{2}(\underbrace{K_{\mu;\nu}+K_{\nu;\mu}}_{=0})\dot x^\mu\dot x^\nu + \Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda\dot x^\mu\dot x^\nu\\ &= (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu+ \Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda\dot x^\mu\dot x^\nu.\end{align*}$$

Pregunta

1. en la expresión$(\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu$la única parte que puede ser cero para cada$\lambda$es$\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu$. No veo por qué. Se supone que esto tiene algo que ver con el hecho de que aquí estamos hablando de geodésicas, pero no veo cómo la condición$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$lleva a esto.
2. en el paso$(*)$Cambié las derivadas parciales a derivadas covariantes$,\to\, ;$para hacer uso de la ecuación de Killing. Esto creó el término proporcional a$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda$. ¿Alguien puede explicar por qué se supone que este término es cero?