¿Por qué los campos vectoriales inducidos por coordenadas no son siempre campos asesinos?

Question

¿Por qué los campos vectoriales inducidos por coordenadas no son siempre campos asesinos?

usuario2723984

tenemos eso

L_{k} {gramo}_{m v} = \nabla_{m} k_{v} + \nabla_{v} k_{m}

$L_K g_{\mu\nu}=\nabla_\mu K_\nu + \nabla_\nu K_\mu$

Un campo vectorial $K$ es un campo de exterminio si $L_K g_{\mu\nu}=0$ , pero considere el campo vectorial inducido por coordenadas $\partial_\alpha$ , tenemos

(\partial_{α})_{v} = {gramo}_{λ v} (\partial_{α})^{λ} = {gramo}_{λ v} d_{α}^{λ} = {gramo}_{α v}

$(\partial_\alpha)_\nu=g_{\lambda\nu}(\partial_\alpha)^\lambda= g_{\lambda\nu}\delta^\lambda_{\,\,\alpha}=g_{\alpha\nu}$

Así, por la condición de compatibilidad de la conexión Levi Civita, es decir $g_{ij;k}=0$ para todos $i,j,k$

L_{\partial_{α}} {gramo}_{m v} = 0

$L_{\partial_\alpha}g_{\mu\nu}=0$

para todos $\alpha$ .

Por supuesto, esto no tiene sentido, porque implicaría que las velocidades siempre se conservan en todas las direcciones, por lo tanto, nunca hay aceleración... ¿dónde está la gran falla en mi razonamiento?

EDITAR: empeora: cualquier campo vectorial que no se desvanece en una variedad suave se puede expresar como $\partial_1$ en un cuadro adecuado

MBN

Qué es

(\partial_{α})_{ν}

$(\partial_\alpha)_\nu$ se supone que significa? Por supuesto que la declaración es incorrecta. Tome cualquier ejemplo que desee, donde los componentes de la métrica dependen de una coordenada dada, entonces el campo tangente correspondiente a esa coordenada no es Killing.

TimRias

sugiero tomar

K = \partial_{r}

$K=\partial_r$ y

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ la métrica de Schwarzschild, y ver dónde y cómo falla su razonamiento.

usuario2723984

@MBN

(\partial_{α})^{ν}

$(\partial_\alpha)^\nu$ es el componente

ν

$\nu$ del campo vectorial

\frac{\partial}{\partial x^{α}}

$\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$ , es decir

d x^{ν} \partial_{α} = δ_{α}^{ν}

$\mathrm{d}x^\nu \partial_\alpha=\delta^\nu_{\,\alpha}$

usuario2723984

@ comentario, ¿te refieres a calcular la derivada de Lie directamente sin usar la derivada covariante?

usuario2723984

@mment es mi cálculo que muestra

K_{μ} = g_{μ α}

$K_\mu=g_{\mu\alpha}$ incorrecta o entendí mal la condición de Levi Civita?

Respuestas (1)

¿Por qué los campos vectoriales inducidos por coordenadas no son siempre campos asesinos?

Qué es $(\partial_\alpha)_\nu$ se supone que significa? Por supuesto que la declaración es incorrecta. Tome cualquier ejemplo que desee, donde los componentes de la métrica dependen de una coordenada dada, entonces el campo tangente correspondiente a esa coordenada no es Killing.
sugiero tomar $K=\partial_r$ y $g_{\mu\nu}$ la métrica de Schwarzschild, y ver dónde y cómo falla su razonamiento.
@MBN $(\partial_\alpha)^\nu$ es el componente $\nu$ del campo vectorial $\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$ , es decir $\mathrm{d}x^\nu \partial_\alpha=\delta^\nu_{\,\alpha}$
@ comentario, ¿te refieres a calcular la derivada de Lie directamente sin usar la derivada covariante?
@mment es mi cálculo que muestra $K_\mu=g_{\mu\alpha}$ incorrecta o entendí mal la condición de Levi Civita?

Michele Grosso · Answer 1

Un campo vectorial K es un campo Killing si la derivada de Lie con respecto a K de la métrica g desaparece. En tu demostración, asumes como vector la derivada parcial y luego, en la RHS de la ecuación, apareces con un tensor, es decir, la métrica. es inconsistente Lo que define su demostración son los componentes covariantes de la derivada parcial como vector, no los componentes del tensor métrico. Por lo tanto, la condición de compatibilidad no es aplicable.

Nota:
Dada una métrica $g_{\mu \nu}$ , un campo de exterminio $K = \partial_\lambda$ existe si todos los componentes de la métrica son independientes de la coordenada $x^\lambda$ . Sin embargo puede haber simetrías ocultas no tan manifiestas.

Además:
la compatibilidad métrica no es aplicable porque la derivada covariante de un vector (un índice) difiere de la derivada covariante de un tensor de dos índices.
$\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu \sigma} V^\sigma$ ecuación (1) derivada covariante de un vector
$\nabla_\mu T^{\nu \lambda} = \partial_\mu T^{\nu \lambda} + \Gamma^\nu_{\mu \sigma} T^{\sigma \lambda} + \Gamma^\lambda_{\mu \sigma} T^{\nu \sigma}$ ecuación (2) derivada covariante de un tensor de dos índices
La estructura de la derivada covariante es diferente. Incluso si las componentes del vector de derivadas parciales son formalmente las mismas que las componentes del tensor métrico, se calculan de acuerdo con la Ec. (1) y no a la ecuación. (2), lo que aseguraría la compatibilidad.
(Solo tenga en cuenta que asumí tanto el vector como el tensor como se describe en los componentes contravariantes. Si tiene componentes covariantes, hay un $-$ firmar delante de la $\Gamma's$ y los índices cambian hacia arriba/abajo).

Gracias por la respuesta. No estoy seguro de entender. Soy nuevo en GR y pensé que si $K$ es un vector $g_{\mu\nu}K^\nu$ fue la definición de $K_\mu$ . Si entendí bien, para obtener la forma covariante de $(\partial_\alpha)^\nu$ No puedo simplemente contratar con la métrica. Pero entonces, ¿qué es la forma covariante y cómo la obtengo? ¿Cómo veo eso para la métrica de Schwarzschild, $\partial_\phi$ y $\partial_t$ son campos de exterminio pero $\partial_r$ ¿no es así?
Reiteré mi respuesta. También agregué una nota sobre una forma manifiesta de entender si la derivada parcial es un campo de muerte.
"Lo que tu demostración define son las componentes covariantes de la derivada parcial como vector, no las componentes del tensor métrico" En mi "demostración" las componentes covariantes de la derivada parcial como vector resultan ser 4 componentes de la métrica, ellas son el mismo objeto matemático, no veo por qué no se aplica la condición de compatibilidad. Creo que necesito revisar algo de geometría diferencial. Noté la condición más explícita al usar la expresión directa de la derivada de Lie, todavía no me queda claro qué es exactamente lo que falla al usar las derivadas covariantes.
Agregué la sección "Más lejos" en mi respuesta para explicar por qué.

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TimRias

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