¿Por qué el tensor de Ricci se define como RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Solo hay seis contracciones posibles, cada una de las cuales se puede simplificar usando las simetrías del tensor de Riemann:

$R^{\mu}_{\enspace\mu\lambda\sigma}=0$porque$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=-R_{\nu\kappa\lambda\sigma}$.

$R^{\mu}_{\enspace\nu\mu\sigma}=\text{Ric}_{\nu\sigma}$es la definición habitual.

$R^{\mu}_{\enspace\nu\lambda\mu}=-\text{Ric}_{\nu\lambda}$porque$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=-R_{\kappa\nu\sigma\lambda}$.

$R^{\enspace\mu}_{\kappa\enspace\mu\sigma}=-\text{Ric}_{\kappa\lambda}$porque$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=R_{\nu\kappa\lambda\sigma}$.

$R^{\enspace\mu}_{\kappa\enspace\lambda\mu}=\text{Ric}_{\kappa\lambda}$porque$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=R_{\nu\kappa\sigma\lambda}$.

$R^{\enspace\enspace\mu}_{\kappa\lambda\enspace\mu}=0$porque$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=R_{\kappa\nu\sigma\lambda}$.

Entonces, todas las contracciones posibles dan como resultado el tensor de Ricci, su negación o cero. Por lo tanto, el tensor de Ricci es único: él (o su negación) es el único tensor de orden 2 distinto de cero que puede hacer contrayendo el tensor de Riemann.

La interpretación geométrica del tensor de Ricci es que describe cómo se comportan las bolas abiertas en una variedad, es decir, cómo se comporta el radio de una bola abierta. Esta es, naturalmente, una cantidad simétrica, ya que la variedad está construida de una manera en la que tiene la libertad de elegir qué base elegir. Las simetrías del tensor de Riemann son

Es una elección basada en la simetría.

El tensor de curvatura de Ricci es un tensor simétrico de rango 2 que surge naturalmente en la geometría pseudo-riemanniana. Sea (M,gij) una variedad pseudo-Riemanniana uniforme de n dimensiones, y sea Rijkl el tensor de curvatura de Riemann correspondiente. El tensor de Ricci Rij se define comúnmente como la siguiente contracción del tensor de curvatura completa:

Rij=Rk.ikj

El índice de simetría de Rij, así definido, se deriva de las propiedades de simetría de la curvatura de Riemann. Esto es,

Rij=Rk=ikjRki=jkRk=jkiRji.

También es conveniente considerar el tensor de Ricci como una forma bilineal simétrica. Con ese fin para los campos vectoriales X,Y escribiremos

Ric(X,Y)=XiYjRij.

fuente: http://www.studygtu.com/2016/02/what-is-ricci-tensone.html