Conservación de la energía y Killing-field

Un sistema físico en GR nunca está aislado , en general, ya que interactúa con la métrica curva, es decir, el fondo gravitacional. (Sin embargo , se puede dar una noción de sistema aislado en el caso particular de un espacio-tiempo asintóticamente plano como se analiza en la respuesta de auxsvr).

Aparentemente, este hecho impide la existencia de cantidades conservadas porque el sistema "externo" puede proporcionar contribuciones a cada cantidad obtenida al integrar los componentes del tensor de energía de estrés$T_{ab}$sobre cualquier noción de espacio de descanso 3D y esta contribución puede cambiar en el tiempo. La ley formal de conservación

Sin embargo, si hay un campo vectorial Killing similar al tiempo $K$, un observador que evoluciona a lo largo de las líneas tangentes de$K$ve el fondo gravitacional como estacionario (ver más abajo).

La corriente$J_b := K^aT_{ab}$resulta estar adecuadamente conservado en vista de la ecuación de Killing para$K$y la ley formal de conservación$\nabla^a T_{ab}=0$,

En reposo con ese espacio 3D, el fondo es estacionario: Usando la noción de tiempo$t$parametrización de las curvas tangentes a$K$como la coordenada de tiempo junto con otras tres coordenadas espaciales en$\Sigma$, Resulta que$\partial_t g_{ab}=0$. Esto no es más que la ecuación de Killing escrita en dichas coordenadas.

Un uso elemental del teorema de la divergencia prueba que (1) implica

ANEXO . En cuanto a la métrica de Kerr, hay un fenómeno interesante descubierto por Penrose y relacionado con el hecho de que el vector Killing externo temporal (el que se acerca al tiempo Killing estándar de Minkowski lejos del agujero negro) se vuelve espacial dentro de la ergosfera del agujero negro.

En términos generales, si$K$es temporal y tienes una partícula con cuatro impulsos$p$evolucionando a lo largo de una geodésica,

la energía de la partícula,$E := -K^bp_b$, referido a la noción de tiempo asociada a$K$se conserva en el tiempo.

Si la partícula se rompe en dos partículas, la misma ley de conservación conduce a la identidad

Todo lo que escribí es válido también si$K$no es temporal, en este caso$-K^bp_b$se conserva pero no tiene el significado de energía y su signo puede ser arbitrario.

Supongamos que la partícula inicial se rompe justo dentro de la ergosfera de un agujero negro de Kerr. Supongamos que la partícula a entró en la ergosfera procedente de una región muy alejada del agujero negro (de modo que$E>0$). Supongamos también que parte$1$permanece dentro de la ergosfera mientras que parte$2$sale y alcanza la región asintótica inicial.

En este caso$E_1\geq 0$, porque la geodésica de esta partícula está nuevamente orientada hacia el futuro como$K$es. Sin embargo, ahora es posible que$E_2<0$, porque$K$es similar al espacio en la ergosfera incluso si$p_2$todavía es temporal y el futuro se dirige en él. Como$E= E_1+E_2$, puede pasar que

La respuesta de Valter Moretti es muy buena y aprendí algunas cosas al leerla. Esta respuesta pretende ser una explicación de nivel inferior de los conceptos básicos de este tema, dando un tratamiento en el mismo estilo que se encuentra cuando la mayoría de los textos GR introducen este tema.

Definición de un vector Killing

Un vector de matanza$\xi$es un campo vectorial que describe una simetría de un espacio-tiempo. Si movemos cada punto en el espacio-tiempo en una cantidad infinitesimal, la dirección y la cantidad están determinadas por el vector Killing, entonces la métrica da los mismos resultados. Un vector de Killing se puede definir como una solución a la ecuación de Killing,

es decir, la derivada covariante es asimétrica en los dos índices.

Ahora supongamos que$p$es un vector tangente a lo largo de una geodésica. Con esto queremos decir que satisface la ecuación geodésica$p^a \nabla_a p^b = 0$. Esta ecuación establece no sólo que$p$permanece tangente a una geodésica, es decir, se transporta paralelamente a sí misma, pero también que se transporta paralelamente a lo largo de esta geodésica de manera afín, de modo que no "cambia de longitud" a medida que avanzamos. Esta es una noción afín de "no cambiar de longitud", no métrica, por lo que se aplica igualmente bien si$p$es nulo en lugar de temporal. Para una partícula masiva o sin masa que se mueve inercialmente, el momento es un vector tangente a la geodésica en este sentido.

La cantidad conservada asociada con un vector Killing

Teorema: bajo los supuestos dados anteriormente,$p_b \xi^b$es una cantidad conservada a lo largo de la geodésica. Es decir, es constante para una partícula de prueba.

Prueba: Probamos esto mostrando que

La aplicación de la regla del producto da

El primer término desaparece por la ecuación geodésica, y el segundo término por la antisimetría expresada por la ecuación de Killing, combinada con la simetría de$p^a p_b$.

Nada de lo anterior cambia si escalamos$p$por algún factor. En el caso de una partícula masiva, puede ser más conveniente dejar$p$Sea la cantidad de movimiento por unidad de masa, de modo que todas las expresiones dependan únicamente de la geodésica.

En ninguna parte de este argumento fue necesario hacer suposiciones acerca de si$\xi$era temporal, nula o espacial.

Algunos casos especiales

Algunos casos especiales son de interés. Supongamos que la métrica es independiente de una coordenada$x^\mu$. Entonces$\partial_\mu$es un vector asesino, y$p_\mu$se conserva

Una serie de restricciones adicionales a cada vez más casos especiales: ---

Si la métrica es independiente de$t$, dónde$t$es una coordenada temporal, es$p_t$(un componente del vector de momento covariante) que se conserva, pero por lo general es$p^t$que llamamos "la" energía.

Cuando la métrica también es diagonal, es$g_{tt} p^t$que se conserva. Para la métrica de Schwarzschild, esto es$(1-2M/r)E$, donde E es la energía medida por un observador estático, es decir, un observador cuyo vector velocidad es paralelo al vector Killing. (Tenga en cuenta que esta secuencia de interpretaciones no funciona cuando el vector Killing no es temporal).

Vectores Killing nulos o espaciales: un ejemplo

A ver que pasa cuando$\xi$no es temporal, es útil observar el caso especial de un fotón que cae desde$r=+\infty$en un agujero negro de Schwarzschild. Luego, en coordenadas de Schwarzschild,$ds^2=0$da$dr/dt=\pm A$, dónde$A=1-2M/r=g_{tt}$.

Fuera del horizonte,$dr/dt=-A$,$p^t$es la energía medida por un observador estático flotando en$r$, y la cantidad conservada$p_t=p^tA$es la energía desplazada hacia el rojo vista por un observador en el infinito.

Cuando la misma partícula pasa al interior del horizonte, su trayectoria ahora tiene$dr/dt=+A$, que sigue siendo negativo. Aquí no hay observadores estáticos, así que$p^t$, que es negativa, no es la energía vista por ningún observador.

Si la métrica es asintóticamente plana, es sencillo asignar significado a una cantidad, de modo que se asemeje a la energía que conocemos de la relatividad especial. En particular, para la métrica de Kerr podemos considerar$(\partial_t)^a$como un vector que representa al observador estacionario en el infinito, donde el espacio-tiempo es Minkowski, y el resto se presenta ante dicho observador como un sistema aislado. Si la definición de un escalar es tal que coincide con la energía en la región asintótica, digamos$-p_a(\partial_t)^a$con$p^a$el momento de una partícula de prueba, entonces podemos considerarlo como energía en todo el espacio-tiempo.