¿Es una inmersión una incrustación en casi todas partes?

No: un mapa de cobertura de variedades suaves es una inmersión pero (estoy casi seguro) nunca tiene esta propiedad a menos que sea un difeomorfismo.

Por ejemplo, mapa$S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}$a sí mismo por$z\mapsto z^2$. Esta es una inmersión pero un subconjunto medible$T$del dominio en el que el mapa es inyectivo tiene medida como máximo$\frac{1}{2}$la medida de$S^1$, porque si$A:S^1\to S^1$es la antípoda ($A(z)=-z$) entonces$T\cap A(T) = \emptyset$, de modo que$\lambda(T) + \lambda(A(T)) \le \lambda(S^1)$, dónde$\lambda$es la medida de longitud en$S^1$; pero$\lambda(T)=\lambda(A(T))$, desde$A$es una isometría.

En caso de que sea de interés, incluso una inmersión inyectiva puede fallar en todas partes para ser una incrustación. Un devanado irracional en un toro es un ejemplo: fija un número irracional$\alpha$. El camino$\gamma(t) = (t, \alpha t)$en el plano real desciende a un camino regular inyectivo en el toro cuadrado$(\mathbf{R}/\mathbf{Z})^{2}$cuya imagen es densa.