¿Hay algún colector sumergido también incrustado?

Dejar$M$ser una variedad suave. Para establecer mis criterios, permítanme definir subvariedades inmersas e incrustadas:

• Un subconjunto$N\subset M$es una subvariedad sumergida cuando$N$es en sí misma una multiplicidad y$\iota:N\rightarrow M$es una (inyectiva) inmersión.

• De la misma manera, un subconjunto$N\subset M$es una subvariedad incrustada si la inclusión es una incrustación.

Por el teorema 5.8 del libro de John M. Lee Introducción a las variedades suaves , cualquier subconjunto$N$de una variedad suave$M$tal que cada punto$p\in N$está contenido en el dominio de un gráfico$(U,\varphi)$de$M$verificando

$$\varphi(U\cap N)= V \times \{ c \},$$

para$V\subset\mathbb R^k$abierto y$c\in \mathbb R^{n-k}$constante, es una subvariedad topológica de$M$y admite una estructura suave convirtiéndolo en un$k$subvariedad incrustada -dimensional. Por el contrario, cualquier subvariedad incrustada exhibe tal propiedad.

Por otro lado, la Proposición 5.22 del mismo libro establece que si$N\subset M$es una subvariedad sumergida entonces, para cada punto$p\in N$hay un barrio abierto (con respecto a$N$)$U'$de$p$tal que$U$es una subvariedad incrustada. Sin embargo, si$U'$es una subvariedad incrustada, por el resultado anterior, existe un gráfico$(U,\varphi)$de$M$tal que$p\in U$y

$$\varphi(U'\cap U)=V \times \{ c\} ,$$

para$V$y$c$como antes. Por otro lado,$U'=N\cap U''$, por algún barrio abierto (con respecto a$M$)$U''$de$p$. Entonces, si establecemos$\tilde U=U\cap U''$y$\tilde\varphi = \varphi|_{\tilde U}$, hemos encontrado un gráfico de$M$con$p\in \tilde U$y tal que

$$\tilde\varphi(N\cap \tilde U)= V\times \{c \} .$$

Luego, nuevamente usando el teorema 5.8, deducimos que$N$es una subvariedad incrustada. Tal vez, advertido por el comentario de Lee después de la proposición 5.22, la estructura incrustada de$N$puede o no estar de acuerdo con la estructura sumergida. Lo que estoy diciendo es que para un subconjunto$N$ser una subvariedad sumergida es una propiedad tan buena que el mismo conjunto también puede estar dotado de una estructura incrustada.

Pregunta. ¿Tengo razón? ¿Alguna subvariedad sumergida admite una estructura (posiblemente diferente) de subvariedad incrustada? Si no, ¿qué hay de malo en mi razonamiento anterior?

Observación. Nótese que ser una subvariedad sumergida no es una condición trivial, es decir, no todos los subconjuntos pueden estar dotados de tal estructura. Por ejemplo, el límite de un cuadrado en$\mathbb R^2$(Problema 5-9 del libro de Lee). Entonces, no todos los conjuntos se pueden realizar como una subvariedad incrustada.